如何求解一阶常微分方程?

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教育小百科达人
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常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为:y=(C1+C2 x)ex

故 r1=r2=1为其特征方程的重根,且其特征方程为 (r-1)2=r2-2r+1

故 a=-2,b=1

对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x

设其特解为 y*=Ax+B

代入y″-2y′+y=x 可得,0-2A+(Ax+B)=x

整理可得(A-1)x+(B-2A)=0

所以 A=1,B=2

所以特解为 y*=x+2

通解为 y=(C1+C2 x)ex +x+2

将y(0)=2,y(0)=0 代入可得

C1=0,C2=-1。

故所求特解为 y=-xex+x+2

故答案为-xex+x+2

扩展资料:

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。

一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

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