高中四个均值不等式推导过程详解
从初中开始就已经学习了简单的不等式，到高中深入学习，又有了均值不等式，下面是由我为大家整理的“高中四个均值不等式推导过程详解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
高中四个均值不等式推导过程详解
四个均值不等式
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
均值不等式用数学归纳法的证明
第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。
第二步：(1)把前面(a1+a2+...+ak)用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k),两边乘k：
a1+a2+...+ak≥k(a1a2...ak)^(1/k),
因此≥成立。
(2)难点是a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其实也很好证明(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a(k+1)，也是k个数。
根据上面假设，n=k时，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k)是成立的，
注意!!!a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a(k+1)，和k-1个(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的!代换一下，就成了：
a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步：
前面两项提取k之后成为：
(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√(a1a2)(当成公式，不是当成数)
(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...aka(k+1))^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k+1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)]]}^(1/2)
=2(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)]
然后代入即可。
