Question

二维图形变换矩阵 矩阵在求变换图形面积中的应用

Answer 1

　　�1 引言� 　　矩阵是现代数学的重要研究对象，其中蕴涵了丰富的思想方法，已成为了各个领域广泛应用的一种常用工具．随着新一轮高中课程改革的铺开，《矩阵与变换》作为全新的内容融入了高中选修课程．变换是函数思想的拓展，其思想本质是映射的思想．通过“矩阵与变换”的学习，可以使我们更好地理解变换的思想，可以用变换的观点来看待数学中的有关内容，比如，平面几何图形的变换、求解方程组、变换的不变量等．本文以一道高考题为出发点，浅谈矩阵在求变换图形面积中的应用．�
　　2 试题引路�
　　2007年高考江苏卷(理)第10题:�
　　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域�A={(x，y)|x+y≤1，且x≥0，y≥0}�，则平面区域B={(x+y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为（）．�
　　（�A�） 2 （�B�） 1 （�C�） 12 （�D�） 14�
　　
　　图1
　　分析：本小题考察平面区域的综合应用，对学生思维的严密性和分析问题的能力有较高要求，为选拔人才、展示才智提供了平台．�
　　传统解法：�设u=x+y�v=x－y ，�
　　则x=u+v2�y=u－v2，�
　　由x+y≤1�x≥0�y≥0 得u≤1�u+v≥0�u－v≥0 ，�
　　作出(u,v)点对应的区域（如图1，阴影部分），所以平面区域B的面积为2×12=1，所以选（�B�）．�
　　评注：这道题的突破口是画出平面区域B的图形，而平面区域B的表述比较抽象、陌生，需通过换元，求得u、v所满足的约束条件，再画出相应的平面区域求面积，有一定的难度．因为，在分析集合B表示的平面区域时，容易产生如下错误：由u=x+y，v=x－y，根据已知易得0≤u≤1，�－1�≤v≤1，容易忽略u+v≥0,u－v≥0的隐含条件，从而得出集合B表示一个长为2、宽为1的矩形区域，其面积为2，从而错选（�A�）．�
　　有些数学问题，看似难题，但解法多样．只要敢于面对难题、挑战传统思维， 活用新知识、新方法，便可获得解决问题的新思路，摆脱“传统解法”的困惑．为此，笔者发现对于此类平面中变换图形的面积问题，运用新课程中的“矩阵与变换”知识，可使问题简单化，从而准确求解．�
　　解法1：令x′=x+y�y′=x－y ，通过矩阵线性变换得x′�y′=11�1－1x�y�
　　依题意，平面区域A是由O(0,0)，C(1,0)，D(0,1) 围成的三角形区域（如图2），�
　　而 11�1－10�0=0�0，�
　　11�1－10�1=1�－1，�
　　11�1－11�0=1�1，�
　　
　　图2
　　
　　图3
　　所以在矩阵11�1－1对应的变换作用下，平面区域A变成平面区域B(△OC′D′)（如图3），其中C′(1,－1)，D′(1,1) ，由图3可得平面区域B的面积为1，故选（�B�）．�
　　评注：由题意知，平面区域B是平面区域A的变换图形，又区域A是由O、D、C三点围成的特殊三角形，该解法运用矩阵的线性变换性质，求得△OCD变换后的图形及其对应点坐标，从而求出变换后的平面区域B(△OC′D′)的面积，展示了矩阵在解决平面变换图形问题中的工具作用．�
　　解法2：（利用线性变换的性质定理：线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值．）�
　　依题意，平面区域A（如图2）是由O(0,0)，C(1,0)，D(0,1)围成的三角形，面积S为12，平面区域A变成平面区域B所对应的变换矩阵为11�1－1，则变换行列式的绝对值11�1－1=2，所以平面区域B的面积S′为12×2=1，故选（�B�）．�
　　评注：相对于传统解法和解法1，解法2显得简洁明快，无须研究集合B所表示的平面区域图形，只要具备基本的运算能力和矩阵知识，直接运用线性变换的性质定理，便可轻松求得平面区域B的面积．该解法为求解变换图形的面积提供了一种新型武器．�
　　线性变换的性质定理，是求解平面变换图形面积问题的便捷方法，它的应用虽有高数背景，但易于领悟、掌握，有助于学生扩展数学视野、挖掘学习潜能．为此，本文对该定理的来源及应用作进一步的阐述和研究．�
　　3 背景研究�
　　以下从矩形的图形变换入手，研究线性变换的性质定理．�
　　
　　图4
　　例 如图4，已知矩阵OABC顶点A(t,0)，C(0,k)．矩阵T=ab�cd代表的变换T将矩阵OABC变到图形OA′B′C′，求变换后图形OA′B′C′与变换前图形OABC的面积比．�
　　解：�OA′�=ab�cdt�0=ta�tc，�
　　�OC�=ab�cd0�k=kb�kd．�
　　显然S��OABC�=tk， 而四边形OA′B′C′是平行四边形（或退化为线段），�
　　S��OA′B′C′�=takb�tckd=tk(ad－bc)，�
　　因此，面积比为tk(ad－bc)tk=ad－bc．�
　　以上例题说明:线性变换将边在坐标轴上的矩形的面积放大或缩小同样的倍数ad－bc，这个放大或缩小的倍数就是变换矩阵的行列式的绝对值．如果行列式为0，则面积变为0，图形被变到一条直线上或者变为原点．�
　　事实上，平面上的每个图形都可以用平行于坐标轴的直线近似地划分成一些很小的矩形小块的并集．整个图形的面积近似地等于这些矩形小块面积的和．既然每一小块的面积都被放大或缩小同一倍数，整个图形也被放大或缩小同样的倍数．虽然这种划分是近似的，但是，分得越细，误差越小．无限细分，误差趋于0，由此得到上述线性变换的性质定理．�
　　以上从一道例题的结论为出发点，应用分割、类比、极限的思想，归纳出线性变换图形面积比值的规律，其独特的推导方式值得借鉴．�
　　笛卡儿说过：“我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题． ”笔者根据上述定理，结合高中数学及矩阵变换的基础知识，设计了如下几道试题，以供参考．�
　　4 试题设计�
　　试题1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x，y)x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={(251x－8y，251x+8y)(x，y)∈A}的面积为（）．�
　　（�A�） 4016 （�B�） 2008 （�C�） 1004 （�D�） 502�
　　答案：（�B�）．�
　　命题立意：本题主要考查通过建立线性变换关系式，简单应用上述定理解决问题的能力．�
　　试题2将平行四边形ABCD变换成矩形A′B′C′D′，其中A(2,1)，B(2,2)，A′(2,0)，
　　B′(2,1)，C′(－2,1)，D′(－2,0)，求满足条件的变换矩阵M，并求出平行四边形ABCD的面积S．�
　　答案：M=10�－121，S=4．�
　　命题立意本题主要考查学生能够根据点的前后变换，正确求出相应的变换矩阵，再利用线性变换的性质定理解决问题的能力． �
　　
　　图5
　　试题3北京奥运主体育场旁有一块长20米，宽10米的矩形空地，现准备在空地内修建一个面积最大的椭圆形草坪．经预算每平方米造价为100元，试问需投资多少元．（参考数据：�π=3.14）�
　　解析：如图5，先求出椭圆的标准方程x�2100+y�225=1，�
　　然后将椭圆在y轴方向上伸长到原来的2倍，x轴方向不变，把椭圆变换成圆:x�2+y�2=100，该线性变换对应的矩阵为10�02，�
　　通过计算圆的面积，并利用线性变换性质定理，达到计算椭圆的面积的目的．�
　　答案：需投资15700元．�
　　评注：椭圆通过伸缩变换变成圆，有多种变换途径．例如，将椭圆在x轴方向上缩短到原来的一半，y轴方向不变，可得圆：x�2+y�2=25，同样可求得椭圆的面积．�
　　命题立意本题以学生熟悉的奥运、草坪、造价为问题背景，考查了圆、椭圆、线性变换的基础知识及其联系，并考查了利用转化思想分析问题和解决问题的能力．该试题朴素自然，又富有时代气息，很好地将数学知识融于生活．�
　　本文探讨了运用“矩阵与变换”的知识求解变换图形面积的问题，初步展示了矩阵应用的广泛性，并体现了新知识与旧问题以及数学知识之间的密切联系．矩阵的灵活应用，打破了解决线性区域面积问题的传统思路，进一步加深了学生对相关数学知识及其应用的理解，培养了学生的发散思维和创新意识，为学生进一步学习、获得更高数学素养奠定了基础．�
　　
　　参考文献�
　　1 张景中，陈民众．矩阵与变换(普通高中课程标准实验教科书选修4-2)［M］．长沙：湖南教育出版社，2005�
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文