Question

设等比数列{an}的前n项和为Sn 若S6/S3=2/3 则S9/s3等于多少？

Answer 1

根据等比数列的求和公式，前 n 项和为：
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)
其中，a1 表示首项，r 表示公比。
根据题意，S6/S3 = 2/3，即：
(a1 * (1 - r^6) / (1 - r)) / (a1 * (1 - r^3) / (1 - r)) = 2/3
化简得到：
(1 - r^6) / (1 - r^3) = 2/3
移项化简得到：
3 - 3r^6 = 2 - 2r^3
化简得到：
3r^6 - 2r^3 - 1 = 0
将上式视为关于 r^3 的二次方程，解得：
r^3 = [2 ± sqrt(4 + 12)] / 6 = [1 ± sqrt(3)] / 3
因为等比数列中不能出现负数，所以公比为正数 [1 + sqrt(3)] / 3。
根据等比数列前 n 项和的公式，S9/S3 可以表示为：
S9/S3 = (a1 * (1 - r^9) / (1 - r)) / (a1 * (1 - r^3) / (1 - r)) = (1 - r^9) / (1 - r^3)
将 r^3 = [1 + sqrt(3)] / 3 代入上式，得到：
S9/S3 = (1 - ([1 + sqrt(3)] / 3)^3) / (1 - ([1 + sqrt(3)] / 3))
计算可得：
S9/S3 = (26 + 15sqrt(3)) / 14
因此，S9/S3 的值为 (26 + 15sqrt(3)) / 14。

Answer 2

既然是等比数列，则有：

Sn = a1*(q^n - 1)/(q-1)
所以：
Sn/Sm = (q^n -1)/(q^m -1)
那么：
S6/S3 = (q^6 - 1)/(q³ - 1) = 2/3
解这个方程：
3 * q^6 - 3 = 2q³ - 2
3(q³)² - 2q³ - 1 = 0
(3q³ + 1)(q³ - 1) = 0
所以，q³ = -1/3, 或 q³ = 1（等比数列的公比不等于1，所以不合题意，舍去）
那么：
S9/S3 = (q^9 - 1)/(q³ - 1)
= [(q³)³-1]/(-1/3 - 1)
= (-1/27 - 1)/(-4/3)
= (-28/27)/(-36/27)
= 28/36
= 7/9