Question

∫1/(1+x²)dx为什么不等于1/2ln(x²+1)？

Answer 1

你可以再求导来验证一下就知道了：
[1/2 * ln(x²+1)]'
=1/2 * 1/(x²+1) * (x²+1)'
=1/2 * 1/(x²+1) * 2x
= x/(1+x²)
而 x/(1+x²) ≠ 1/(1+x²)。显然你的答案是错误的！
一般的做法是：
设 x = tanθ。则 dx = sec²θdθ
那么，原来的积分就可以变换为：
∫dx/(1+x²)
=∫sec²θdθ/(1+tan²θ)
=∫sec²θdθ/sec²θ
=∫dθ
= θ + C
= arctanx + C

Answer 2

∫1/(1+x²)dx的确不等于1/2ln(x²+1)。这是因为在对不定积分∫1/(1+x²)dx进行求解时，我们需要通过换元或者分部积分等方法来消除分母中的x²或者x²+1等问题。具体的求解过程中需要注意以下几点：

1. 进行变量代换：我们可以通过代换法将∫1/(1+x²)dx转化为∫1/(1+t²)dt，消除分母中的x²，然后再根据1/1+t²的积分公式来进行求解。

2. 分部积分：我们也可以采用分部积分法，将1/(1+x²)dx分解为(1+x²)'/(1+x²)²dx，并将x/(1+x²)²和1/(1+x²)dx分别拆分成两部分，再进行求解。

总之，∫1/(1+x²)dx的求解方法可能有多种，但是其最终结果都不等于1/2ln(x²+1)，需要根据具体的求解方法和数学原理来判定答案的正确性。