Question

已知a、b、c是△ABC的三条边的长，求证：（a²＋b²－c²）²－4a²b²＜0

可不可以说简单一点

Answer 1

I证明如下：
原不等式等价于：
(a^2+b^2-c^2)/(4a^2b^2)<1
也即[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]^2<1
由余弦定理，发现(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=cosC
也即要证明(cosC)^2<1，而在三角形中0<C<π
则上式显然成立。

证法二：
由平方差公式：
(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a-b+c)
显然由三角不等式：a+b-c>0,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b+c>0
则显然原式小于0