Question

幂级数的收敛域如何判断？

Answer 1

幂级数的收敛域

利用比值判别法，R=lima/a=lim[(1+1/n)^(n^2)]/{[(1+1/(n+1)]^[(n+1)^2]}=lime^n/e^(n+1)=1/e，x=1/e时级数化为∑1;x=-1/e时级数化为∑(-1)^n，收敛域x∈(-1/e,1/e)。

收敛域就是判断在收敛区间的端点上是否收敛。譬如说求出一个级数的收敛半径为5那么此时收敛区间为(-5，5)而下一步求收敛域就带x=-5和x=5，分别看是否收敛。

概念分析

1、确定级数的系数通项表达式；根据系数通项表达式得到第n+1个系数的表达式；利用收敛半径公式，带入系数表达式求收敛半径R。

2、在原级数中带入x=-R判断x=-R处左端点的收敛性；在原级数中带入x=R判断x=R处右端点的收敛性；6.综合左右端点收敛性和收敛半径得到级数的收敛域。