Question

数学基本概念：复合函数单调性求教

在描述f(x)=g(h(x))的时候，总说g(x)与h(x)的单调性，要同增异减来判断f(x).
但是在想复合f(x).
Eg. f(x)=sin(2x+1)，在x∈（0，∏）
设g(x)=sinx
h(x)=2x+1
f(x)=g(h(x))
已知h(x)在定义域上单调递增。
h(x)在(0,∏/2]增
[∏/2,∏）减
所以同增异减
f(x)在(0,∏/2]增
[∏/2,∏）减

但实际上不是。
设A={x|x∈A[7∏/8-1/2,9∏/8-1/2]}
x∈A，f(x)增
x不∈A,f(x)减

所以，我想请教一下，这里的同增异减有什么深层含义？本质是什么？

敬请请教，所有的回答我都会看，无论有多少人！这点请放心！

请不要灌水或者Ctrl+V，谢谢~

再次感谢~

Answer 1

在描述f(x)=g(h(x))的时候，总说g(x)与h(x)的单调性，要同增异减来判断f(x).

这里的同增异减是在判断f(x)增减性的。
你可以想对于函数增减性的定义：
如果X1>X2,f(X1)>f(X2)时，那么就表示f(x)是增函数（减函数也就不说了）
同增的意思是：g(x),h(x)在定义域是同增函数或者都是减函数时，f(x)是增函数
异减的意思是：g(x),h(x)在定义域是一个增函数另一个减函数的时候，f(x)是减函数
这怎么证明呢？
还是前面说过的f(x)的增减性的定义
设X1>X2,如果g(x),h(x)同是增函数，有h(X1)>h(X2)
对于g(x),h(X1),h(X2)就是它的自变量（相当于X）
因为h(X1)>h(X2)，g是增函数，那么g(h(X1))>g(h(X2))
就是说：f(X1)>f(X2)
所以f(x)是增函数了
同理，你可以证明同减的时候它也是增函数.
那么，异增减时也可以证明f（x）为减函数了

对于你所说的函数：f(x)=sin(2x+1)，在x∈（0，∏）
因为在x∈（0，∏）时，sin(P)的定义域是什么呢？
它是[2*0+1,2*∏+1]
sin(P)在[2*0+1,2*∏+1]上并不是单调函数。而是时增时减函数的。

你所说的“
已知h(x)在定义域上单调递增。
h(x)在(0,∏/2]增
[∏/2,∏）减
所以同增异减”
是把h(x)的定义域看作原h(x)=2x+1的定义域了，这是不对的。

Answer 2

虽然不能很好的给你答案,但建议注意三角函数的任意角度(任意角),当确定内层函数为h(x)在定义域上单调递增时,就用三角函数的单调性来解决.