Question

答:第三个内角2)一个等腰三角形的周长是30厘米,它的腰长最长是多少厘米?底边

Answer 1

对于一个等腰三角形，它的两条腰的长度相等，设为$x$，底边长度为$y$，则有周长$30 = 2x + y$。
根据等腰三角形的性质，它的底角和顶角相等，且它的底边中点到顶点的距离等于它的腰长。因此，我们可以利用勾股定理求出底边中点到顶点的距离，进而确定最长的腰长。
设底角和顶角的大小均为$\theta$，则有：
$$(\frac{y}{2})^2 + x^2 = x^2\cot^2{\theta}$$
又因为底边中点到顶点的距离为$x\sin{\theta}$，所以
$$x\sin{\theta} = \frac{y}{2}\tan{\theta}$$
联立上述两个式子，可以求出：
$$x = \frac{y}{2}\cot{\theta}$$
将$x$代入周长的公式中，可以得到：
$$30 = 2x + y = y(\cot{\theta} + 2)$$
因此，$y$的最大值为$30/(\cot{\theta}+2)$。由于$\cot{\theta} = 2$时$\theta = \pi/4$，此时三角形为等边三角形，所以$y$的最大值为$30/(\cot{\pi/4}+2) = 15\sqrt{2}$厘米。
底边的长度为$2x\sin{\theta} = y\sin{\theta} = y/\sqrt{2}$，所以底边的长度为$15$厘米。