Question

概率问题

一个人把6根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰巧连接成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。
一楼正确，能把结果推广到2n根草的情形么？

Answer 1

每根草的头编号,1,2,3,4,5,6.尾也编号,a,b,c,d,e,f.
(1,a),(2,b),...是六根草.

头的每一种接法,比如(1,2),(3,4),(5,6),分析如下:
对a来说,若要接成圆,必须不与b接.概率是4/5.
a若不与b接,比如说接c吧,那么对于e来说,只要不于f接,就能接成一个圆了.不与f接的概率是2/3.

所以,接成一个圆的概率是:4/5*2/3=8/15.

另一种解释方法
第一：总连法(分母)
....1、连头：第1对连法=C62; 第2对连法=C42; 第3对连法=C22
.............考虑3对的顺序--->头的连法总数=C62C42C22/P33=C62
....2、连尾：同理------------>尾的连法总数=C62C42C22/P33=C62
------>总连法(分母)=C62C62

第二：成环的连法(分子)
....1、选定一种头的连法（C62种），如1-2,3-4,5-6
....2、连尾：1有C41种选择(3,4,5,6),选定后,如1-3;
.............2有C21种选择(5,6),选定后,结束。
------>连法(分子)=C62*C41C21

最后：所求概率=C62*C41C21/(C62C62)=C41C21/C62=8/15

Answer 2

6个接头两两打结的情况数X=C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=6!/(2!)^3
则上下打结的总情况数为X^2=(6!)^2/(2!)^6

组成1个圈的情况为6段头尾按顺序排列相连，情况数Y=A[6,6]=6!

所以概率P=Y/X^2=(2!)^6/6!=64/720=4/45

对于2n根草的情形：
X=(2n)!/(2!)^n
Y=A[2n,2n]=(2n)!
P[2n]=Y/X^2=(2!)^n/(2n)!