Question

已知三角形abc中A<B<C,a=cosB,b=cosA,c=sinC问题如下

(1)求三角形ABC的外接圆半径和角C的值
(2)求a+b+c的取值范围

Answer 1

1、
正弦定理c/sinC=2R
所以R=2c/sinC=2

a/sinA=b/sinB=c/sinC=1
所以b=sinB=cosA
a=sinA=cosB
所以sinAsinB=cosAcosB
cos(A+B)=0
所以A+B=90度
所以C=90度

2、
a+b+c=cosA+cosB+sinC
=cosA+cos(90-A)+sin90
=sinA+cosA+1
=√2sin(A+45度)+1
A<B
所以0<A<45度
所以45<A+45<90
√2/2<sin(A+45)<1
所以√2*√2/2+1<√2sin(A+45度)+1<√2*1+1
所以2<a+b+c<√2+1

Answer 2

因为a=cosB,b=cosA
由正弦定理a/sinA=b/sinB
所以A+B=90°
所以C=90°

外接圆半径为（a+b-c)/2

a+b+c=cosB+cosA+sinC=cosB+cosA+1
=cos(π/2-B)+cosA+1
=sinA+cosA+1
=√2 *sin(A+π/4)+1
A属于(0，π/20 A+π/4属于（π/4，3π/4）
所以sin(A+π/4)属于(√2/2,1)
a+b+c属于（2，1+√2）