Question

高数证明题如图，求详细解答过程，不要一两句话！

Answer 1

根据拉格朗日中值定理，有：f(c)-f(0)=(c-0)f'(ζ1)
f'(ζ1)=[f(c)-f(0)]/c (0<ζ1<c)
f(1)-f(c)=(1-c)f'(ζ2)
f'(ζ2)=[f(1)-f(c)]/(1-c) (c<ζ2<1)
∵(0,f(0))、(c,f(c))、(1,f(1))共线
∴f'(ζ1)=f'(ζ2)
根据罗尔定理，有：f"(ζ)=0 (ζ1<ζ<ζ2)

追问

这个罗尔定理不是要求一阶导数f`(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续才能用的吗？
这个题目中不是没有说明一阶导数f`(x)在[0,1]上连续嘛！
这个题目中说”在(0,1)内二阶可导“能推出一阶导数在f`(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导吗？

追答

∵f'(x)在[ζ1,ζ2]上连续，在(ζ1,ζ2)内可导
∴f"(ζ)=0

追问

但是题目中不是要证(0,1)内，存在f``(ζ)=0，那不是范围不一样了

追答

0<ζ1<ζ2<1
只要在(ζ1,ζ2)存在f"(ζ)=0，就说明在(0,1)存在f"(ζ)=0

追问

.

这个参考答案里说（第一张图片最后一行）：

f`(x)在[ζ1,ζ2]属于[0,1]这句话是不是写错了，这句话不是默认了f`(x)在[0,1]上连续了吗？应该属于(0,1)这个开区间吧！对吗？

追答

应该分开来理解：
第一，f'(x)在[ζ1,ζ2]上；
第二，[ζ1,ζ2]包含在[0,1]内。
并不是f'(x)在[0,1]上。

追问

这两个不是都是闭区间吗？
ζ1和ζ2应该能取到0和1两个端点的呀！变成[0,1]

追答

注意：是真包含符号，它的下面没有=

追问

我集合的概念好像忘掉了！
A ⊆ B 表示 A 的所有元素属于 B.（A可能等于B也可能不等于B）
A ⊂ B 表示 A 的所有元素属于B.（A不可能等于B）
上面两个解释对吗

追答

正确。

追问

导数之间的概念有些我还不太懂，帮忙看下我的另一个提问吧！谢谢！
http://zhidao.baidu.com/question/619473717959238212.html#

Answer 2

追答

可以吗

追问

这是同一题？

追答

是这个 刚才错了

追问

你这个是网上复制的吧

追答

对啊 我不会