Question

已知数列{Xn}满足，X1=1/2,X(n+1)=1/(1+Xn)

(1)猜想数列{Xn}的单调性，并证明

(2)证明|X(n+1)-Xn}<=(1/6)*(2/5)^(n-1)

Answer 1

(1) 由题意可以xn为分式，不妨设xn=an/bn,且an，bn互质，
可知 x1=1/2，x2=2/3，x3=3/5，x4=5/8，x5=8/13，x6=13/21……
即a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,……
b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=13,b6=21,……
bn=an+1
所以xn=an/an+1)
an+2=an+1+an
在数列{X2n}中
X2n-X2(n-1)=a2n/a2n+1-a2n-2/a2n=（a2n*a2n-a2n+1*a2n-2）/(a2n+1*a2n)

分母为正数，为了书写方便，先舍去，只计算分子

a2n*a2n-a2n+1*a2n-2=（a2n-1+a2n-2）^2-(a2n-2+2a2n-1)*(a2n-2)=(a2n-1)
^2>0
所以 X2n-X2(n-1)＞0，数列{X2n}为增函数(2)当n=1时|X2-X1|=1/6成立 当n≥2时易知0＜Xn-1＜1所以1+Xn-1＜2所以Xn=1/（1+Xn-1）＞1/2 又有|Xn+1-Xn|=|1/（1+Xn）-1/（1+Xn-1）|=|Xn-Xn-1|/[（1+Xn）*（1+Xn-1）]又有注意到（1+Xn）*（1+Xn-1）=[1+1/（1+Xn-1）]*（1+Xn-1）=2+Xn-1≥2+1/2=5/2 所以|Xn+1-Xn|≤2/5|Xn-Xn-1|≤（2/5）²|Xn-1-Xn-2|≤...≤（2/5）ˆn-1*|X2-X1|=1/6（2/5）ˆn-1 这样就证出来了，望采纳~

Answer 2

这是09陕西高考理科数学最后一题，用数学归纳法可证明。
第一问，应为猜想数列{X2n}的单调性，并证明

Answer 3

求导数，导数大于0单调增加，导数小于0单调减小