Question

高数题求助！

问题一：
高数第五版上 p26 例2 中 已知xn=(-1)n/(n+1)2,证明数列{xn}的极限是0.
注：（-1）n中的n和（n+1）2中的2为上标，xn中的n为下标
书上证明数列极限时，设ε<1，本人不明白此处为什么要设ε<1？
问题二：
高数第五版上p27页中例3 设|q|<1,证明等比数列的极限时0。
同样问题，在证明中，为什么要设ε<1？其中证明中取自然对数，为什么？取lg可以么？同时，条件中为什么给出|q|<1？
问题三：
高数第五版上p27页中，证明极限的唯一性，为什么取ε=（b+a）/2
问题四：
数列收敛，那么数列一定有界。但是{e(-n)/2}（其中-n为e的上标）也收敛于0，为什么没有界？

谢了！

Answer 1

问题一：
已知xn=(-1)^n/(n+1)^2,证明数列{xn}的极限是0.
证明：(-1)^n等于1或-1.
lim(n->∞)[1/(n+1)]=0,更是lim(n->∞)[1/(n+1)^2]=0,加上前面乘以正负1系数，因为极限是0就无所谓正负0了。
书上证明数列极限时，设ε<1，本人不明白此处为什么要设ε<1？
当后项比前项是一个量时，这个量只要比ε小，而ε<1，从而保证了数列的收敛性，最后必然趋近于0.不说ε<1，换一个别的数值不容易说得明确，比如说ε<ε0，ε0是一个非常小的正数，显得很罗嗦（数学上，常设ε是一个相当小的正数）。设它ε<1对证明已经够用了。

问题二：
设|q|<1,证明等比数列的极限 是0。同样问题，在证明中，为什么要设ε<1？
这个问题的理由同上。只要等比数列后项比前项小，其比值ε<1，最后必然趋近于0！
其中证明中取自然对数，为什么？使用ln后，不再增加其它项；取lg也可以，但要增加一项lge.同时，条件中给出|q|<1,也是保证级数最后收敛。

问题三：
证明极限的唯一性，为什么取ε=（b+a）/2？
能知道ε=（b+a)/2<1 吗？能，就足够了。我想还是为了好说明确、说清楚。

问题四：
数列收敛，那么数列一定有界。但是{e(-n)/2}（其中-n为e的上标）也收敛于0，为什么没有界？
当n趋近于无穷大时，{e^(-n)/2}趋近于0。数列收敛，那么数列一定有界！这个数列也不例外，它也有界！不能说它没有界。界，可大可小：比如说它大于0小于1（或0.000000000001，或10^10000!).