Question

一道初二的数学题。 会的帮忙解释下。谢谢各位咯。！

原题如下：

有10位乒乓球选手进行单循环赛（每两人间均比赛一场），用X1，Y1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用X2,Y2顺次表示第2号选手胜与负的场数......,用X10,Y10顺次表示第10号选手胜与负的场数,试说明X1²+X2²+...+X10²=Y1²+Y2²+...+Y10².

会的帮忙讲下噢 谢谢大家哈.

Answer 1

由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即xi+yi=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.
〔结果〕由题意知xi+yi=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10
(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)
=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)
=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)
=9〔(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)〕
=9〔(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)〕
=0
所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.

Answer 2

因为是循环赛，所以每一队打了9场（即Xi+Yi=9,i=1,2,3……10），原式可化为：X1²+X2²+...+X10²-Y1²-Y2²-...-Y10²=（Xi+Yi）（X1+X2+...+X10-Y1-Y2-...-Y10），比赛的胜负总数相同，即X1+X2+...+X10=Y1+Y2+...+Y10.
X1+X2+...+X10-Y1-Y2-...-Y10=0，原式=9*0=0，所以X1²+X2²+...+X10²=Y1²+Y2²+...+Y10²