Question

设函数f(x)=ax2+bx+c且f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证

1.a>0,-3>b/a>-3/4
2.函数f(x)在（0，2）中至少有1个零点

Answer 1

1. 将f(1)=-a/2 代入有 a+b+c=-a/2 整理有 3a+2b+2c=0
因为3a>2c>2b, 所以必有3a>0 2b<0 故a>0 b<0
将条件不等式中 的2c用-3a-2b替换 即3a>-3a-2b>2b 解得,-3<b/a<-3/4
2. 由上题结果易知 -4/3b>a>-1/3b
f(2)=4a+2b+c=5/2a+b;f(0)=c=-3/2a-b
f(0)*f(2)=-15/4(a+8/15b)^2+1/15b^2<0
故（0，2）中必有零点

Answer 2

1.
f(1)=a+b+c=-a/2
把这个式子整理一下，得到3a+2b+2c=0，题设说 3a，2c,2b这三个数有关系3a>2c>2b，它们相加为0，一定有3a>0,2b<0
即a>0,b<0
将条件不等式中 的2c用-3a-2b替换 即3a>-3a-2b>2b 解得,-3<b/a<-3/4

2.
f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c<3a/2,且a>0，接下来要分类讨论了：
0<a<c<3a/2时
这时f(0)=c>0,f(2)=a-c<0，在(0,2)间必有零点；
c<0时
这时f(0)=c<0,f(2)=a-c>0，在(0,2)间必有零点；
0<c<a时
我们来看函数的对称轴x=-b/2a，由于b=-(3a+2c)/2,c的范围为（0,a)
联立可得-b/2a的范围为(5/4,3/2),是在（0,2)区间内，方程判别式
b^2-4ac=(3a+2c)^4-4ac=(9a^2-4ac+4c^2)/4,这个式子配方后是两个完全平方的和，所以原方程判别式不大于等于0，即原方程一定与x轴有交点，又f(0)>0,f(2)>0,可知这个交点一定在(0,2)间
c=0或c=2时，这个可以单独提出来算一下，可以得到确定的结果，是满足题设的。

Answer 3

1.
将f(1)=-a/2
代入有
a+b+c=-a/2
整理有
3a+2b+2c=0
因为3a>2c>2b,
所以必有3a>0
2b<0
故a>0
b<0
将条件不等式中
的2c用-3a-2b替换
即3a>-3a-2b>2b
解得,-3<b/a<-3/4
2.
由上题结果易知
-4/3b>a>-1/3b
f(2)=4a+2b+c=5/2a+b;f(0)=c=-3/2a-b
f(0)*f(2)=-15/4(a+8/15b)^2+1/15b^2<0
故（0，2）中必有零点

Answer 4

2b,
所以必有3a>0
2b<0
故a>0
b<0
将条件不等式中
的2c用-3a-2b替换
即3a>-3a-2b>2b
解得;2c>2a+b;f(0)=c=-3/2a-b
f(0)*f(2)=-15/4(a+8/15b)^2+1/-1/3b
f(2)=4a+2b+c=5/,-3<4
2.
由上题结果易知
-4/3b>a>b/a<-3/2
整理有
3a+2b+2c=0
因为3a>1.
将f(1)=-a/2
代入有
a+b+c=-a/15b^2<0
故（0