Question

设Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3).....1/2n,求Sn的取值范围

很急很急~~~~
那个n∈N，Sn应该是f(n)

Answer 1

此题求f(n)范围必须证明其单调性，然后求其范围。

此题关键在于求f(n)的上界！放缩法固然可以，但是求其结果不够精确，容易放大过度或是出现错误，也容易出现fn＜M＜3/4。二楼解法中居然出现[1,2/3)这样的区间。显然正确解法应该是求f(n）的极限来求其准确的上界！

其真正的上界应该为f(n)＜ln2（近似为0.69＜3/4)

详细解答如下，点击可放大： 

补充题：若n∈N,n≥2,求证:1/2-1/（n+1）<1/2^2+1/3^2+…+1/n^2<1-1/n

证明：对通项放缩：

1/n-1/(n+1)=1/[n(n+1)]＜1/n^2＜1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n

∴原式＞(1/2-1/3)+(1/3+1/4)+…+[1/n-1/(n+1)]=1/2-1/（n+1）

原式＜(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+[1/(n-1)-1/n]=1-1/n

∴1/2-1/(n+1)＜1/2^2+1/3^2+…+1/n^2＜1-1/n  得证！

Answer 2

N=1时 Sn最小值=1/2 可以取到的
S2-S1=1/12=1/3-1/4<1/2-1/3
S3-S2=1/30=1/5-1/6<1/4-1/5
S4-S3=1/56=1/7-1/8<1/6-1/7
S5-S4=1/90=1/9-1/10<1/8-1/9
后面的式子可以用n来代替
2[(S2-S1)+(S3-S2)+(S4-S3)……]<1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……<1/2
[(S2-S1)+(S3-S2)+(S4-S3)……]<1/4
Sn的上极限应该是3/4，并且取不到的

不好意思
我这个题目的解法用了放缩法

三楼“ JC飞翔”朋友的答案是正确的
不过微积分的知识还是有一点超出了中学生学习能力

Answer 3

此题求f(n)范围必须证明其单调性，然后求其范围。
此题关键在于求f(n)的上界！放缩法固然可以，但是求其结果不够精确，容易放大过度或是出现错误，也容易出现fn＜M＜3/4。二楼解法中居然出现[1,2/3)这样的区间。显然正确解法应该是求f(n）的极限来求其准确的上界！
其真正的上界应该为f(n)＜ln2（近似为0.69＜3/4)
详细解答如下，点击可放大：
补充题：若n∈N,n≥2,求证:1/2-1/（n+1）<1/2^2+1/3^2+…+1/n^2<1-1/n
证明：对通项放缩：
1/n-1/(n+1)=1/[n(n+1)]＜1/n^2＜1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
∴原式＞(1/2-1/3)+(1/3+1/4)+…+[1/n-1/(n+1)]=1/2-1/（n+1）
原式＜(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+[1/(n-1)-1/n]=1-1/n
∴1/2-1/(n+1)＜1/2^2+1/3^2+…+1/n^2＜1-1/n 得证！

Answer 4

容易用定义证明，f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...+1/2n是一个单调递增的函数，所以随着n增大，1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...+1/2n也要增大。又因为n可以取一切大于1的自然数，所以当n取2时1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...+1/2n最小，要使1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...+1/2n＞a恒成立，则1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...+1/2n的最小值要大于a。当n等于2时，1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)...+1/2n=7/12，所以a要小于7/12

Answer 5

解：（1）.如果n可以为0，则Sn≥1
(2) .如果n不可为0，则Sn≥1/2
∵[(n+1)+(n+2)+(n+3)....+2n]×Sn≥n^2(柯西不等式)
∴Sn≥2/(3+1/n)
当n→+∞时，
∴Sn＞2/3

∴Sn∈[1,2/3),或Sn∈[1/2,2/3)

不懂问我。