Question

已知直线x+2y—4=0与抛物线y^2=2x相交于A, B两点。o为坐标原点。求在抛物线的曲线AO

已知直线x+2y—4=0与抛物线y^2=2x相交于A, B两点。o为坐标原点。求在抛物线的曲线AOB上求一点P。使三角形ABP面积最大

Answer 1

　　解：分享一种解法。∵抛物线与直线是确定的，∴二者相交的弦AB的长度是确定的。∴ 在弧AOB上求一点P，使S△ABP最大，转化成P点到直线x+2y-4=0的距离最大。
　　设P(x,y)，则P到直线x+2y-4=0的距离d=丨x+2y-4丨/√5=丨(1/2)y^2+2y-4丨/√5=(1/2)丨y^2+4y-8丨/√5=(1/2)丨(y+2)^2-12丨/√5。当y=-2时，d有最大值6/√5。
　　由y^2=2x、x=4-2y，有y^2+4y-8=0，解得y=-2±2√3。即y的取值范围是y∈[-2-2√3，-2+2√3]。而y=-2在其中。∴P(-2,2)，S△ABP最大。【如果学过导数，对抛物线方程求导，令其斜率与所给直线相等，易得P点坐标】。供参考。