Question

A是以BC为直径的圆O上一点，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB交于F

若sin∠F=3/5，求sin∠D的值

Answer 1

连接AB，OA
DB切圆O于点B，BC为直径
∴DB⊥FC于B
∴∠FBE=∠DBC=90°

而∠BAC为直径BC所对的圆周角
∴∠BAC=90°
∴∠DAB=180°-90°=90°
∴△DAB是直角三角形
而在Rt△DAB中，E是斜边BD的中点
∴AE=BE=BD/2
△ABE是等腰三角形
两底角∠EAB=∠DBA
而∠DBA为圆O切线DB与弦AB所成的弦切角，∠C是弦AB所对的圆周角
故∠DBA=∠C
∴∠EAB=∠C

OA，OC均为圆O半径，有OA=OC
于是，在等腰△AOC中，∠OAC=∠C
∴∠EAB=∠OAC
∴∠FAO=∠EAB+∠BAO=∠OAC+∠BAO=∠BAC=90°

在Rt△AFO中，∠FAO=90°
∴sin∠F=OA/OF=3/5
设OA=3，则OF=5
∴OB=OA=3
BC=2OB=6
BF=OF-OB=2
而在Rt△FBE中，∠FBE=90°
∴sin∠F=BE/EF=3/5 ①
再由勾股定理有：
EF^=BE^+BF^ ②
而BF=2
由①，②联立可求出：
BE=3/2
∴BD=2BE=3

在Rt△DBC中：∠DBC=90°
由勾股定理可得：
CD^=BD^+BC^
代入BD=3，BC=6，可求出：
CD=3√5
于是，有sin∠D=BC/CD=6/(3√5)=2√5/5