Question

一道初2数学题

有10位乒乓球选手进行单循环赛，每两人间均比赛一场，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数；用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数......，用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数，试说明：x1^2 + x2^2 + ...+ x10^2 = y1^2 + y2^2 + ...+ y10^2

Answer 1

每位选手都需要比赛9场，所以，X1+Y1=X2+Y2=X3+Y3=……=X10+Y10=9.
于是，左边-右边=（X1的平方+X2的平方+X3的平方+……+X10的平方）-（Y1的平方+Y2的平方+Y3的平方+……+Y10的平方）=（X1+X2)(X1-X2)+(Y1+Y2)(Y1-Y2)+……+（X10+Y10)(X10-Y10)=9[(X1-X2)+(Y1-Y2)+……+(X10-Y10)]=9[(X1+Y1)-(X2+Y2)+(X3+Y3)-(X4+Y4)+(X5+Y5)-(X6+Y6)+(X7+Y7)-(X8+Y8)+(X9+Y9)-(X10+Y10)]=9(9-9+9-9+9-9+9-9+9-9)=0.
证明完毕。

Answer 2

式子左边表示每人连胜两场，右边表示每人连败两场。有人胜则必然有人败。故式子两边相等。

Answer 3

靠。。中国什么时候把初中数学教材改版的这么难了。。无语。。

Answer 4

证明：
OE//DC
所以AO：AC=AE：AD
OF//BC
所以AF：AB=AO：AC
所以AE：AD=AF：AB
而∠FAE=∠BAD（同一个角）
所以三角形AEF
∽
三角形ABD(两条边对应成比例且夹角相等的三角形相似)
所以∠AEF=∠ADB（相似三角形的对应角相等）
所以EF//BD（同位角相等，两线平行）

Answer 5

平行四边形中，对角线互相平分，OE平行CD，可知OE是三角形ABD的中位线，即E是AD的中点；同理F点是AB的中点，EF就是三角形ABD的中位线，所以EF平行于BD

Answer 6

∵O是四边形ABCD的两条对角线的交点
∴BO=DO，AO=CO
又∵OE∥CD，OF∥BC
∴OE是△ABD的中位线，OF是△ABD的中位线
∴E、F分别为AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF∥BD，得证