Question

微积分题目求答案啊

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Answer 1

一。填空题

1.解：f[g(x)]=(1+x)/[1-(1+x)]=(1+x)/(-x)=-[(1/x)+1]；

2.解：=1/2

3.解：f(0)=1+a；x→0limf(x)=x→0lim[(sin2x)/x]=x→0lim(2x/x)=2=1+a，故a=1.

4.解：L‘(x)=x-(5/x)，L'(10)=10-5/10=10-2=8.【这个答案不一定正确。什么叫“边际利润”？】

5.解：f '(xo)=0

6.解：f '(x)=2x-e^(-x)

7.解：dx/√x=2d(√x)

8.解：f(x)=[sin(3x-1)]'=3cos(3x-1)

9.解：【-1，3】∫x²sinxdx=【-1，3】-∫x²d(cosx)=【-1，3】-[x²cosx-2∫xcosxdx]

=【-1，3】-[x²cosx-2∫xd(sinx)]=【-1，3】-{x²cosx-2[xsinx-∫sinxdx]}

=-{x²cosx-2[xsinx+cosx]}【-1，3】=-9cos3+2(3sin3+cos3)+[cos1-2(sin1+cos1)]

=-7cos3+6sin3+2cos1-2sin1

10.解：F'(x)=xsinx²

二。求下列极限

1.   x→∞lim[(1+x)/x]⁻²=x→∞lim[1+(1/x)]⁻²=1

2.   x→0lim{(1/x)-1/[(e^x)-1]}=x→0lim{(e^x-x-1)/[x(e^x-1)]}=x→0lim[(e^x-1)/(e^x-1+xe^x)

=x→0lim[(e^x)/(e^x+e^x+xe^x)=1/2

三。求导数或微分

1.解：设F(x，y)=x³+y³-xy-1=0，则dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(3x²-y)/(3y²-x)

2.解：y=(x²+1)arctanx-x+ln2；dy=[2xarctanx+1-1]dx=2xarctanxdx

四。求积分

1.∫[2^x+(2/x)-x²]dx=(2^x)/ln2+2ln∣x∣-x³/3+C

2.解：原式=(1/2)∫sinx²d(x²)=-(1/2)cosx²+C

五。应用题

1. 求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的单调区间和极值

   解：f '(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3)=3(x-1)(x-3)

   但增区间(-∞，1]∪[3，+∞)；单减区间[1，3]；

   极大值f(x)=f(1)=1-6+9+1=3；极小值f(x)=f(3)=27-54+27+1=1.

2. 解：利润L=R(x)-C(x)=20x-x²-[(1/3)x³-6x²+29x+10]=-(1/3)x³+5x²-9x-10

   令L'=-x²+10x-9=-(x²-10x+9)=-(x-1)(x-9)=0，得驻点x₁=1，x₂=9；x₁是极小点，x₂是极大点.

        Lmax=L(9)=-(1/3)×9³+405-81-10=-334+405=71(万元)

       即每批生产9百台是利润最大，最大利润为71万元。

  3.  解：面积S=(1/2)×1×1+【1，2】∫(1/x)dx=1/2+[lnx]【1，2】=1/2+ln2

       体积=(1/3)π×1²×1+【1，2】∫πy²dx=(1/3)π+【1，2】π∫(1/x²)dx=(1/3)π-π(1/x)【1，2】

       =(1/3)π-π(1/2-1)=(1/3)π+(1/2)π=(5/6)π.