Question

∫(x^2+1)/(x^4+1)dx求积分

∫(x^2+1)/(x^4+1)dx求积分 网上很多答案都说分子分母同时除以x^2，可是不能排除x=0的情况啊，这样除会不会不严谨？不这样做的话应该怎样做?谢谢啦！

Answer 1

　　你要考研吗？相信我*^_^*
　　对于这种积分，先看分母x^4+1=0有没有解，像本题中没有实数解 于是分母必可表示为 x^4+1=(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)的形式 用待定系数法可得 A=√2,C=-√2,B=D=1 然后再根据拆解分式的方法 原式必可表示成：茄模 1/(x^4+1)=(ax+b)/(x^2+√2x+1)+(cx+d)/(x^2-√2x+1)+e 用待定系数法得到 a=√2/4,c=-√2/4,b=d=1/2,e=0 下面其实就好求了，利用好(lnx)'=1/x和(arctanx)'=1/(x^2+1) 比如轿纳手闭嫌前半个式子 ∫[(√2/4)x+1/2]/(x^2+√2x+1)]dx =(√2/8)[∫(2x+√2)/(x^2+√2x+1)dx+∫√2/(x^2+√2x+1)dx =(√2/8)[ln(x^2+√2x+1)+2arctan(√2x+1)]+C 后半个式子方法相同 于是最后化简可得 ∫1/(x^4+1)dx =(√2/8)[ln(x^2+√2x+1)-ln(x^2-√2x+1)+2arctan(√2x+1)+2arctan(√2x-1)]+C

Answer 2

个别的点为0，在不定积分中不必考虑。

Answer 3

这个题不好想正纤，但是想起来了，就很好樱清汪做了，记住这个题吧，少年
被积脊仔函数分子分母除以x²有∫(x^2+1)/(x^4+1)dx = ∫(1+1/x²)/(x²+1/x²)dx令u=x-1/x , 则 du = (1+1/x²)dx且 u² = x²+1/x² -2则原式= ∫ du/(u²+2)=1/根号2 * arctan (u/根号2)+c再u=x-1/x代进去
原式==1/根号2 * arctan[ (x-1/x)/根号2)]+c