Question

已知函数f(x)=e^x-1-x,

（1）若存在x∈[-1,ln4/3],满足a-e^x+1+x<0,求a的取值范围。
（2）当x≥0时，f（x）≥（t-1）x恒成立，求t的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=e^x-1-x
（1）若存在x∈[-1，ln(4/3)]，满足a-e^x+1+x<0，求a的取值范围；
（2）当x≥0时，f(x)≥(t-1)x恒成立，求t的取值范围。
解：
（1）存在x∈[-1，ln(4/3)]，满足a-e^x+1+x<0等价于a小于f(x)在x∈[-1，ln(4/3)]的最大值：
∵ f(x)=e^x-1-x
∴ f'(x)=e^x-1
∴ 当x∈[-1，0)时 f'(x)=e^x-1＜0，f(x)=e^x-1-x递减；当x∈(0，ln(4/3)]，时 f'(x)=e^x-1＞0，f(x)=e^x-1-x递增；且f(-1)=1/e，f(ln(4/3))=1/3-ln(4/3)，f(0)=0
∴ f(x)最大=f(-1)=1/e
∴ a的取值范围为a∈(-∞，1/e)
（2）由题： 当x≥0时e^x-tx-1≥0恒成立，令g(x)=e^x-tx-1，
g'(x)=e^x-t
若t≤1则-t≥-1，g'(x)=e^x-t≥e^x-1≥e^0-1=0，g(x)递增，g(x)≥g(0)≥e^0-t·0-1=0，不等式e^x-tx-1≥0成立；
若t＞1则
当x∈[0，lnt]时g'(x)≤g'(lnt)=e^(lnt)-t=0，g(x)递减；
当x∈[lnt，+∞)时g'(x)≥g'(lnt)=e^(lnt)-t≥0，g(x)递增；
从而，g(x)在x∈[0，+∞)上取得最小值g(lnt)=t-tlnt-1，令h(t)=t-tlnt-1，t∈(1，+∞)，h'(t)=1-lnt-1=-lnt＜0，h(t)在t∈(1，+∞)上递减，h(t)＜h(1)=0，即e^x-tx-1≥0在x∈[0，+∞)不能恒成立；
综上，t的取值范围为t∈(-∞，1]