Question

计算定积分

∫[上限e^(π/2)下限1]sin(lnx)dx

Answer 1

解：（1）原式=1/2∫(1,2)d(2x-1)/(2x-1)
=(1/2ln|2x-1|)|(1,2)
=1/2(ln3-0)
=1/2ln3
（2）∵∫(0,1)(2x+k)dx=(x²+kx)|(0,1)=1+k
又∫(0,1)(2x+k)dx=2
∴1+k=2
故k=1
（3）原式=∫(0,1)2t²dt/(t²+1)
(用t=√(e^x-1)代换)
=2∫(0,1)[1-1/(t²+1)]dt
=2(t-arctant)|(0,1)
=2(1-π/4)
=2-π/2
（4）原式=∫(a,x)f(t+a)d(t+a)
=∫(2a,x+a)f(u)du
(用u=t+a代换)
=∫(2a,x+a)F'(u)du
(∵F'(x)=f(x))
=[F(u)]|(2a,x+a)
=F(x+a)-F(2a)
（5）原式=1/2∫(0,1)e^(x²)d(x²)
=1/2[e^(x²)]|(0,1)
=1/2(e-1)
（6）原式=∫(1,e)lnxdx
=(xlnx)|(1,e)-∫(1,e)dx
(应用分部积分法)
=（e-0)-(e-1)
=1
（7）原式=(-xcosx)|(0,π/2)+∫(0,π/2)cosxdx
(应用分部积分法)
=(0-0)+(sinx)|(0,π/2)
=1-0
=1

Answer 2

解：设lnx=t,则当x=1时，t-0.当x=e^(π/2)时，t=π/2
∴原式=∫(0,π/2)e^tsintdt （∫(0,π/2)表示从0到π/2积分）
为了求解方便，设I=∫(0,π/2)e^tsintdt
∵I=(e^tsintdt)|(0,π/2)-∫(0,π/2)e^tcostdt (应用分部积分)
==>I=e^(π/2)-(e^tcost)|(0,π/2)-∫(0,π/2)e^tcostdt (应用分部积分)
==>I=e^(π/2)+1-I (∵I=∫(0,π/2)e^tsintdt)
==>2I=e^(π/2)+1
==>I=[e^(π/2)+1]/2
∴原式=[e^(π/2)+1]/2.

Answer 3

用换元法，先求不定积分，定积分用牛顿莱布尼兹公式自己带，

令x=tant,则dx=(sect)^2
dt，积分限由x
的1到根号3变为t的π/4到π/3，

原式=∫(sect)^2/[(tant)^2]*sect

dt

=∫cost/(sint)^2
dt

=∫1/(sint)^2
d(sint)
(凑微分）（此形式相当于∫1/x^2
dx)

=
-
1/sint
+c

Answer 4