Question

求解3道数学题 要详细过程 拜托

1、设X>0，则X²+6/X的最小值是多少
2、已知a是质数，X,Y均为整数，则方程|X+Y|+√（X-Y）=a的解的个数是多少
3、设a,b均为正数，若a,b的算术平均值为m,且1/a+1/b=n,则a,b的比例中项为多少

Answer 1

1、解：
∵ x > 0 ∴ X² + 6/X ＝ X² + 3/X + 3/X ≥ 3 · 三次根号(X² ·3/X·3/X) ＝ 3 · 三次根号9。
( 当且仅当 X² ＝3/X 即 x ＝ 三次根号3 时取等号)
所以，x ＝ 三次根号3 时， X² + 6/X 的最小值是 3 · 三次根号9
2、解：
若x,y都为奇数或都是偶数，则|x+y|是偶数，√(x-y)若是整数的话也必是偶数，所以此时a为偶数，又是质数，所以a=2。
若x,y一奇一偶，则|x+y|是奇数，√(x-y)若是整数的话也必是奇数，所以此时a为偶数，又是质数，所以a=2。
即无论如何，a=2
又|x+y|>=0,√(x-y)>=0 所以x>=y,且|x+y|<=2, 即x,y都只能在[-1,1]之间。
解得x=1,y=1; x=0,y=-1; x=1,y=0 x=-1,y=-1 共4组解。
3、解：
∵ a,b的算术平均值为m，∴ a + b = 2m
∵ 1/a+1/b=n，∴ (a+b)/ab=n ∴ 2m/ab=n ∴ab=2m/n
设a,b的比例中项为x，即 a:x = x:b , 由 x² = ab = 2m/n ∴ x = ±√(2mn) / n
即 a,b的比例中项为 ±√(2mn) / n 。

追问

第二题的答案是5个 为什么呢 还少一个啊

追答

不好意思，答题时疏忽了

2、解法一：
⑴若x,y都为奇数或都是偶数，则|x+y|是偶数，√(x-y)若是整数的话也必是偶数，所以此时a为偶数，又是质数，所以a=2。
⑵若x,y一奇一偶，则|x+y|是奇数，√(x-y)若是整数的话也必是奇数，所以此时a为偶数，又是质数，所以a=2。
即无论如何，a=2

又|x+y| ≥ 0, √(x-y) ≥ 0 所以 x ≥ y, 且|x+y| ≤ 2, √(x-y) ≤ 2, |x+y| + √(x-y) = 2
当 x ≤ -2 时 |x+y| ＞ 2, 不符合题意。
当 x = -1 时 y = -1；
当 x = 0 时 y = -1；
当 x = 1 时 y = 0 或 y = 1；
当 x = 2 时 y = 2；
当 x ≥ 3 时 |x+y| + √(x-y) ＞ 2, 不符合题意。
所以共有5组解。

解法二：令 x-y = m ，则m为不小于零的有整数平方根的整数，
因 x+y = (x-y) + 2y, 所以 |x+y| + √(x-y) = a 可写成 |2y+m| + √m = a
若m为奇数，则m的平方根为奇数，而|2y+m|也为奇数，故a为偶数，必定为2；
若m为偶数，则m的平方根为偶数，而|2y+m|也为偶数，故a为偶数，必定为2。
所以a=2，
由 |2y+m| + √m = 2 得√m≤2，所以m=0,1或4。
当m=0 时 y=±1，由 x = m+y 知相应的x=y；
当m=1 时 y=0或-1，由 x = m+y 知相应的x=1或0；
当m=4 时 y=-2，由 x = m+y 知相应的x=2
故有5组解符合要求。

Answer 2

1.令y=x^2+6/x，求导数y'=2x-6/(x^2)表示函数y=x^2+6/x的斜率，x=3的立方根时y'=0，把这个值代入X²+6/X即可，要严谨些的话可先证明在这点以左y单调下降而这点以右y单调上升
2.令x-y=m^2(m>0)，首先考虑如果x=y，则a是偶数只能是2，解有两个分别为x=y=1和x=y=-1；然后当x>y时，x=m^2+y代入方程，绝对值里变成m^2+2y，假设m是偶数，m^2，m，2y三项都是偶数，再假设m是奇数，m^2和m都是奇数而2y是偶数，无论如何三项的加、减都是偶数，因此此时a=2，联立方程组只能是x-y=1和x+y=+-1，得两组解x=1,y=0和x=0,y=-1
3.a+b=2m，后式通分得a+b=abn=2m，ab=2m/n因此比例中项是2m/n的平方根（2个）