求收敛半径
rcosθ+r²cos2θ/2+r³cos3θ/3+......也就是，Σr^ncos(nθ)/n...
rcosθ+r²cos2θ/2+r³cos3θ/3+......
也就是，
Σr^ncos(nθ)/n 展开
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这一个的收敛域，是跟θ有关的，
若θ=kπ/2, k=0, 正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=0, 此时收敛域是(负无穷，正无穷）
若θ=2kπ， k=0, 正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=(-1)^(2kn)*r^n/n=r^n/n,
此时的收敛域是[-1,1)
若θ=(2k+1)π， k=0, 正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=(-1)^[(2k+1)n]*r^n/n=(-1)^n*r^n/n,
收敛域是(-1,1]
其他情况下，由于|cos(nθ)|<=1, |r^ncos(nθ)/n|<|r^n/n|
收敛域跟r^n/n是相同的，除了端点-1
所以收敛域是（-1,1）
若θ=kπ/2, k=0, 正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=0, 此时收敛域是(负无穷，正无穷）
若θ=2kπ， k=0, 正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=(-1)^(2kn)*r^n/n=r^n/n,
此时的收敛域是[-1,1)
若θ=(2k+1)π， k=0, 正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=(-1)^[(2k+1)n]*r^n/n=(-1)^n*r^n/n,
收敛域是(-1,1]
其他情况下，由于|cos(nθ)|<=1, |r^ncos(nθ)/n|<|r^n/n|
收敛域跟r^n/n是相同的，除了端点-1
所以收敛域是（-1,1）
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追问
若θ=kπ/2, k=0,r^ncos(nθ)/n=0，这个有问题吧。。。
最后一个，因为|r^ncos(nθ)/n|<|r^n/n|,为什么能得出收敛域是(-1,1)？绝对值更小不是应该收敛域更大么？
追答
对，第一个修改为θ=(2k+1)π/2。
最后一个是在是没什么信心，不过绝对值更小不是应该收敛域更大，这个更没有依据。但是对于不同的θ，好像只能这么说
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利用欧拉公式
e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ)
Σr^ncos(nθ)/n
=Σr^nRe[e^(inθ)]/n
=Re[Σr^ne^(inθ)/n]
=Re{Σ[re^(iθ)]^n/n}
令z=re^(iθ)
先不看Re，那加和变为
Σz^n/n, n从1开始到无穷
要收敛用比值判定，必然|z|<1
边界处z=-1也收敛(交错级数)，即z的收敛域为[-1,1)
然后求和
令S=Σz^n/n, n从1开始到无穷
S'=Σz^(n-1)=1/(1-z) (几何级数)
S=积分 1/(1-z) dz =-ln|1-z|=-ln|1-re^(iθ)|
Σr^ncos(nθ)/n=Re[-ln|1-re^(iθ)|]=-ln[(1-rcosθ)^2+(rsinθ)^2]=-ln[1+r^2-2rcosθ]
收敛域为
1.当θ=2kpi时
e^(iθ)=1, z=r可以等于-1
r属于[-1,1)
2.当θ=2kpi+pi时
e^(iθ)=-1, z=-r可以等于-1，r可以取1
r属于(-1,1]
3.当θ=2kpi加减pi/2时
z=0
恒收敛，收敛域为R
4.θ不属于以上三种，则
r属于(-1,1)
e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ)
Σr^ncos(nθ)/n
=Σr^nRe[e^(inθ)]/n
=Re[Σr^ne^(inθ)/n]
=Re{Σ[re^(iθ)]^n/n}
令z=re^(iθ)
先不看Re，那加和变为
Σz^n/n, n从1开始到无穷
要收敛用比值判定，必然|z|<1
边界处z=-1也收敛(交错级数)，即z的收敛域为[-1,1)
然后求和
令S=Σz^n/n, n从1开始到无穷
S'=Σz^(n-1)=1/(1-z) (几何级数)
S=积分 1/(1-z) dz =-ln|1-z|=-ln|1-re^(iθ)|
Σr^ncos(nθ)/n=Re[-ln|1-re^(iθ)|]=-ln[(1-rcosθ)^2+(rsinθ)^2]=-ln[1+r^2-2rcosθ]
收敛域为
1.当θ=2kpi时
e^(iθ)=1, z=r可以等于-1
r属于[-1,1)
2.当θ=2kpi+pi时
e^(iθ)=-1, z=-r可以等于-1，r可以取1
r属于(-1,1]
3.当θ=2kpi加减pi/2时
z=0
恒收敛，收敛域为R
4.θ不属于以上三种，则
r属于(-1,1)
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这个极限不存在吧
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追问
这个是交错级数吧，并且cosθ+cos2θ+cos3θ……好像是收敛的，那至少应该存在当0<r<1时它收敛吧。
追答
cos na/cos（n+1）a极限不存在啊
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