Question

已知AB和CD为圆O的任意两条确定的直径，由圆O上一点P向AB、CD作垂线，垂足分别为M、N，求证：

已知AB和CD为圆O的任意两条确定的直径，由圆O上一点P向AB、CD作垂线，垂足分别为M、N，求证：不论点P在什么位置，MN的长都等于定值

Answer 1

设PO=r,∠BOD=α，连接半径PO,，

∵PM⊥AB,PN⊥CD,∴∠MPN=∠BOD=α,

∵⊿POM和⊿PON都是直角三角形，PO是公用斜边，∴P、O、M、N四点共圆，PO是其直径，

MN是圆周角∠MPN=α所对的弦，据正弦定理：MN/sinMPN=PO，

∴MN=POsinMPN=rsinα=定值。

注：若不用辅助圆和正弦定理，可以取PO的中点E，连接EM和EN，由EM=EN=EP=EO=PO/2=r/2，证明等腰三角形EMN的顶角∠MEN=2α，

∴底边MN=2EMsin(∠MEN/2)=rsinα。