Question

方程x^2-px-1/（2p^2） =0的两根x1，x2满足x1^4+x2^4≤2+√2，则p=多少（p∈R）

Answer 1

x^2-px-1/(2p^2) =0，
——》x1+x2=p，x1*x2=-1/(2p^2)，
——》x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=p^2+1/p^2，
——》x1^4+x2^2=(x1^2+x2^2)^2-2x1^2*x2^2=p^4+1/(2p^4)+2<=2+√2，
——》p^4+1/(2p^4)<=√2，
——》[p^2-1/(√2p^2)]<=0，
——》p^2=1/(√2p^2)，
——》p^4=√2/2=2^(-1/2)，
——》p^2=2^(-1/4)，
——》p=+-2^(-1/8)。

Answer 2

算了好几遍，得数是√[√2 +√(2+√2)]/2^(1/4) 但是方法是这样。如果按(1/2)^(1/8)算，x1和x2都是虚数。要么你再算算看是哪个数字有问题。

先求两根，两根分别是(p±√p^2-2/p^2)/2=p/2±(√p^2-2/p^2)/2

设a=p/2 b=(√p^2-2/p^2)/2

x1^4+x2^4 =(a+b)^4+(a-b)^4 =2(a^4 +6a^2b^2 +b^4)

=(1/8)[p^4 +6p^2(p^2-2/p^2) +(p^2-2/p^2)^2]

=(1/8)(p^4 +6p^4 -12 +p^4 -4 +4/p^4)

=p^4 -2 +1/(2p^4) ≤2+√2

-----
因为[p^2 - 1/(√2)p^2]^2 = p^4 -√2 +1/(2p^4)

=x1^4+x2^4 +(2-√2)

所以:[p^2 -1/(√2)p^2)]^2 ≤2+√2+(2-√2)=4

p^2 - 1/(√2)p^2≤2 p^2-2 ≤1/(√2)p^2

乘以p^2得 p^4 -2p^2 ≤1/√2

(p^2-1)^2 ≤ (2+√2)/2

p^2-1 ≤ √(2+√2)/√2

p^2 ≤ [√2 +√(2+√2)]/√2

p ≤ √[√2 +√(2+√2)] /2^(1/4)

---