Question

问一下泰勒公式的理解

一般比较复杂的函数的泰勒公式展开式 在x0点的展开式 就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+... Fn(x0)/n! (x-x0)n次方 这是带有拉格朗日项的泰勒公式 但是这个公式只是说明了 两个函数在一点有相同的函数和各阶导数 那么为什么满足上述的条件这两个函数就相同的呢 这是由点及面么 我不是很明白呢
一般可以用泰勒公式对一些函数进行近似估计 可是我不是很明白呢 比方说
希望您可以帮助解答一下 谢谢了

Answer 1

1.泰勒展开只是对于一小段区域而言的,不是整体性质.
2.为什么满足那个条件就能使这两个函数那么相似?(因为有一个余项所以不能叫相同)
那个条件的意义是什么你知道吗?
其本质是它们两个函数(记右边的逼近函数为g(x))在x=x0点的函数值相等:f(x0)=g(x0)
1阶导数相等:f'(x0)=g'(x0)
2阶导数相等:f''(x0)=g''(x0)
直到n阶导数都相等:f^(n) (x0)=g^(n) (x0)
这已经是在一点(x=x0)上所能够想到的使两个函数相似的最极致的办法了吧?
如果无法体会那么可以画图想象一下:
先只让f(x0)=g(x0),那么就是在x=x0上两个函数相交而已
那么进一步让f'(x0)=g'(x0),那么在x=x0上便不只是相交,而且切线相同.(这时候你甚至已经难以画清了)
再进一步让2阶导相等,那么不只是切线相同,而且凹凸性也相同.
...
那么要求直到n阶导相等就会让两个函数越来越相似了.
3.对于估计(30)^(1/3)我就大概说一下了.
取x0=27,展开即可.因为(27)^(1/3)容易得到,而且离30近.

追问

很多的时候比方说

上面你的回答.泰勒展开只是对于一小段区域而言的,不是整体性质  从这个等式可以知道他应该是对于整个函数讨论的呢  不是局部的吧  这个地方我理解错了么.

上面你说的两个函数相似我已经理解了呢谢谢哈  最后那个题确实不会啊

追答

泰勒公式可以写成f(x)=g(x)+r(x),r(x)是余项,g(x)是n项的和
我们说两个函数相似,指的是f(x)和g(x)相似
你理解的两个函数相等,我猜有两种理解方式:
1.你理解为"为什么f(x)和g(x)会相等?".
答案是它们一般不相等.因为g(x)是n项的和(并不是无穷项的和,即不是幂级数展开,幂级数展开时它们就是相等的),那么它们之间会差一个r(x).
2.你理解为"为什么f(x)和g(x)+r(x)会相等?".
答案是肯定会相等.你可以看看书上是怎么证明泰勒公式的,所谓的证明其实就是为了求出r(x)的表达式.那么是怎么求r(x)的呢?就是记r(x)=f(x)-g(x)的.
现在来说你说的整体性质.
1.g(x)是n项的和时(即非幂级数展开时):f(x)=g(x)+r(x)这个式子对整体都是成立的,但是对于距离x0太远的点来说没有估计的意义,因为r(x)可能很大,所以为了用g(x)估计f(x),只能在x0的附近估计.
2.g(x)是无穷项的和时(即幂级数展开):幂级数是有收敛域的,这时候要看这个幂级数本身的收敛域是什么,收敛域是多大泰勒展开就在多大范围内成立.
关于那题:
f(x)=x^(1/3)
求出f(27),f'(27),f''(27)
得到g(x)=f(27)+f'(27)(x-27)+f''(27)(x-27)^2/2
计算g(30)这就是f(30)的估计值了,误差可由r(x)估计.
如果你问为什么算到2阶导?
答:这是根据题目要求的误差(或者说精度)选择的,不一定是2阶.

Answer 2

由于泰勒公式里的n是有限的，如果不考虑余项的话，函数和其在某点处的泰勒公式是不相等的，（但是n无限的话一般就相等，那是无穷级数的内容了。）你写的那个式子里没有余项，所以是不能划等号的，它们相差一个比(x-x0)^n更高阶的无穷小量，用拉格朗日型余项表示为f‘(n+1)(ξ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!，f'(n+1)表示n=1阶导数，注意这个n+1阶导数是在x和x0之间的某一中值ξ处取值的，只有加上这一项，f(x)才和它在x0点的泰勒展开式相等。用泰勒公式做近似计算时通常就不考虑余项了，虽然只要n阶可导的函数都可以写出泰勒公式，但实际能用来做近似计算的并不多，例如你说的三次根号x，计算它在某点各阶导数是得不出具体数值的（虽然存在），所以在它的泰勒公式中各项系数都是不知道的，因此这个展开式对于近似计算就没什么用。

追问

这个n+1阶导数是在x和x0之间的某一中值ξ处取值的，f(x)才和它在x0点的泰勒展开式相等。 这个地方我在看书的时候很疑惑呢 很感谢您的回答啊 我明天再根据你们说的看一下 看看可不可以弄懂

追答

两个函数在x0处的函数值和n阶导数值都相等，这两个函数就非常接近了，但是不一定相等啊，因为n+1阶导数就不一定相等。还有你对cosx泰勒公式的理解不对，你写的那个是在x0=0处cosx的泰勒公式，x0如果不是0泰勒公式就不是你写的那个了，所以就像楼上说的，泰勒公式只是一种局部性质。虽然用x0=0时cosx的泰勒公式可以计算x取任何值时cosx的近似值，但是在n固定时，一般来说你的x取的离x=0越远，用那个公式计算的误差就越大，关键原因就在于余项中的ξ是在x和0之间取值的，如果x很接近于0，那么可知ξ也接近于0，计算就准确，相反如果x远大于0，那么ξ可能取的值就越多，而且余项中x^(n+1)也越大，因此计算出来的误差就可能很大。

追问

很感谢你的回答 很详细呢 今天花时间又看了看 现在弄懂了 很开心啊 谢谢~