Question

已知正项数列an。bn满足：对任意正整数n，都有an，bn，a（n+1）成等差数列，bn、a（n+

已知正项数列an。bn满足：对任意正整数n，都有an，bn，a（n+1）成等差数列，bn、a（n+1）b（n+1）成等比数列，且a1=10。a2=15。 求证数列根号下bn是等差数列。 求数列an。bn的通项公式

Answer 1

bn、a(n+1)、b(n+1)成等比

所以 a(n+1)^2=bn*b(n+1)
所以 a(n+1)=√[bn*b(n+1)]
所以 an=√[b(n-1)*bn]

因为 an、bn、a(n+1)成等差
所以 2bn=an+a(n+1)
所以 2bn=√[b(n-1)*bn]+√[bn*b(n+1)]
所以 2√bn=√b(n-1)+√b(n+1)
所以 数列{√bn}是等差数列

a1=10, a2=15，那么 b1=12.5
b1=12.5, a2=15，那么 b2=18

所以 公差d=√18-√12.5=√2/2
所以 √bn=(5/2)√2+(√2/2)*(n-1)=2√2 +(√2/2)n
所以 bn=8+4n+n^2/2
所以 an=√[b(n-1)*bn]
=√[(8+4n+n^2/2)*(9/2 +3n+n^2/2)]
=√(n^2/2 +7n/2 +6)^2
=(n^2+7n+12)/2

即 an=(n^2+7n+12)/2， bn=(n^2+8n+16)/2

Answer 2

an，bn，a(n+1)成等差数列
an+a(n+1) =2bn (1)

bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列
bn. b(n+1) = [a(n+1)]^2 (2)

a1=10, a2=15
from (1) b1 =25/2
from (2)
b1b2 =(a2)^2
(25/2).b2 = 225
b2 = 50

from (1) and (2)
√[bn.b(n-1)] + √[bn.b(n+1)] = 2bn
√b(n-1) + √b(n+1) = 2√bn
√b(n+1) - √bn = √bn - √b(n-1)
√b(n+1) - √bn = √b2 - √b1
=√50 - √(25/2)
= 5√2 - (5/2)√2
= 5√2/2
√bn - √b(n-1) =5√2/2
√bn - √b1 = (5√2/2)(n-1)
√bn = (5√2n/2)
bn = 25n^2/2

from (2)
bn. b(n+1) = [a(n+1)]^2
an = √[b(n-1).bn]
= (25/2)n(n-1)