如何证明傅里叶逆变换? 15
对于非周期函数f(t),可以将它看成是某个周期函数fт(t)当т→+∞时转化而来的。
即：
f(t)= limfт(t) (1)
т→+∞
由傅里叶复指数形式可得：
+∞ T/2
f(t)= lim 1/T *∑[∫fт(u)*exp(-inωu)du]*exp(inωt) (2)
T→+∞ n=-∞ -T/2
令ωn=nω(n=0,1,2,…)，则有Δωn=ωn+1-ωn=2∏/T（此n是下角标），显然，当т→+∞时，Δωn→0，故（2）式又可以写成
+∞ T/2
f(t)= 1/2∏*lim ∑[∫ fт(u)*exp(-iωnu)du]*exp(iωnt)*Δωn （n是下角
Δωn→0 n=-∞ -T/2
标） （3）
记
T/2
Fт(ω)=∫ fт(u)*exp(-iωu)du
-T/2
+∞
F(ω)=∫ f(u)*exp(-iωu)du
-∞
则
+∞
f(t)= 1/2∏*lim ∑[Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn （此n都是下角标）
Δωn→0 n=-∞
显然，当Δωn→0时，Fт(ωn)→F(ωn)
从而（此n都是下角标）
+∞ +∞
f(t)= 1/2∏*lim ∑Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn= 1/2∏*lim ∑F(ωn)*exp(iωnt )*Δωn （4）
Δωn→0 n=-∞ Δωn→0 n=-∞
分析一下：
首先看一下复变函数积分的定义，如下：
定义：设C为复平面上以A起点B为终点的光滑（或分段光滑）的有向曲线，函数ω=f(z)在C上连续，如果以分点A=z0,z1,z2,...,zn-1,zn=B将曲线C任意分成n个
n
小弧段，并在每个弧段zn-1zn(k=1,2,...,n)上任取一点ζk，作和式Sn=∑f(ζk)*Δzk,其中Δzk=zk-zk-1，记弧段
k=1
zn-1zn的长度ΔSk，λ=maxlim{ΔSk}，若不
1≤k≤n
论对C如何分法及ζk如何取法，极限
n
lim∑f(ζk)*Δzk
λ→0 k=1
存在，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为∫f(z)dz,即
c
n
∫f(z)dz= lim∑f(ζk)*Δzk
c λ→0 k=1
式中，f(z)为被积函数；C为积分曲线。
这样就很明确了，(4)式中取的是弧段的起始点（ωn，F(ωn)*exp(iωnt）），就是弧段的起始点（ωn，F(ωn)*exp(iωnt））作为被乘数，这是符合复变函数积分定义的，定义中指出可以取任何一点，当然可以取弧段的起始点（ωn，F(ωn)*exp(iωnt））做被乘数。
（4）接下来是：
+∞ +∞ +∞
=1/2∏*∫F(ω)exp(iωt)dω=1/2∏*∫ ｛∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω - -∞ -∞ -∞
以上是（5）式。
+∞ +∞
=1/∏*∫ ∫f(u)cosω(t-u)dudω (6)
0 -∞
解释一下（5）到（6）的过程：
因为exp(iωt)对于u来说是常数可以和前面的函数合并，利用欧拉公式把expiω(t-u)展开，会得到一个带有和i相乘的含有正弦函数乘积的函数在（-∞，+∞）的积分函数项。因为正弦函数的函数值是关于坐标原点对称的，函数值的绝对值是完全相等的，但是符号相反，这样带有和i相乘的含有和正弦函数乘积的函数项在（-∞，+∞）的积分值为零，因为积分区间（-∞，+∞）可以分解成以纵轴对称的（-∞，0]和[0,+∞)。另外，因为对于函数f(u)cosω(t-u)是对正数ω的偶函数，所以把积分区间改写成了（0，+∞）并且把积分的函数乘以了2。于是就得到了（6）式。
把（5）式单拿出来，
+∞ +∞
f(t)=1/2∏*∫ ｛∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω
-∞ -∞
称为傅里叶逆变换，若记
⋌ +∞
f(ω)=∫ f(t)*exp(-iωt)dt 这就是f(t)的傅里叶变换
-∞
+∞ ⋌
则 f(t)=1/2∏*∫ f(ω)*exp(iωt)dω 这就是f(t)的傅里叶逆变换
-∞
至此，对傅里叶变换的来龙去脉已经阐述详细了。
傅里叶变换的应用很广泛，如在：《激光原理》、《电路》，等等学科。
。。。我怎么没有发现关于逆变换的证明。。好多页。。能告诉我在哪页上吗？
