Question

在三角形ABC中,若a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=

?

Answer 1

• ∵a＋c＝2b
  ∴sinA＋sinc＝2sinB
  即sinA＋sinC＝2sin(A＋C)
  由和差化积、二倍角公式得：
  2sin[(A+C)/2]×cos[(A-C)/2]＝4sin[(A+C)/2]×cos[(A+C)/2]
  ∵sin[(A+C)/2]≠0
  ∴cos[(A-C)/2]＝2cos[(A+C)/2]　
  cos(A/2)cos(C/2)＋sin(A/2)sin(C/2)＝2cos(A/2)cos(C/2)－2sin(A/2)sin(C/2)
  即3sin(A/2)sin(C/2)＝cos(A/2)cos(C/2)
  ∴tan(A/2)×tan(C/2)＝1/3  　
  ∴[(1－cosA)/sinA]×[(1－cosC)/sinC]＝1/3
  ∴cosA＋cosC－cosAcosC＋（1/3)sinAsinC＝1