Question

正定矩阵的二次型矩阵对角线元素大于零

刘老师，可不可以这么解释。。正定变换从根本上来看是对二次型进行配方，从而变换成正定型的配方后每个二次方前的系数正负是由原来二次型中的平方项的正负号决定的。。。故二次型平方项的系数都为正

Answer 1

不可以，正确的做法如图所示

Answer 2

"从而变换成正定型的配方后每个二次方前的系数正负是由原来二次型中的平方项的正负号决定的"

这个不对!
f(x1,...,xn) 正定 <=> 对任一x≠0, f(x)>0
考虑 f(xk) =: f(0,...,0,xk,0,...,0) = akk xk^2
它一定是正定的
这是因为 xk≠0 时, (0,...,0,xk,0,...,0)≠0, 所以 f(0,...,0,xk,0,...,0) >0.
所以 akk > 0

追问

老师，您的方法理解了。。。我还想问一下话二次型为标准型的本质是不是配方？我觉得像。比如配方法变换。。。但又感觉不是。。不明白化为标准型到底有什么意义

追答

化标准形就是把二次函数的图像转换为标准形式
你看看数学手册吧