Question

求解一道几何题，在线等

已知：a平行于b，AB交a于C，交b于D，O1是AB的中点，O2是CD的中点，O2O3=O1O2，MN垂直于a。
求证：AM平行于BN

Answer 1

题目错了，只有当O3D=DB【即C刚好是AO3的中点，D刚好是BO3的中点】时，AM才会平行于BN

倒推一下：假设AM平行于BN

则三角形O3NB相似于三角形O3MA
则O3N/O3M = O3B/O3A------------------------------------------------------------推论1

因三角形O3MC相似于三角形O3ND，所以O3N/O3M=O3D/O3C ------------推论2

结合推论1和推论2，O3B/O3A=O3D/O3C 则O3B/AB=O3D/CD
因O1O2为AB和CD的中点，则O3B/(2*O1B)=O3D/(2*O2D)
则O3B/O1B=O3D/O2D---------------------------------------------------------------推论3

设线段O1O2=O2O3=c CO1=DO3=b BD=a
则推论3变成：（a+b）/（c+c+b+a）=b/（b+c）
则：ab+ac+b*b+bc=2bc+b*b+ab
则：ac=bc a=b
即：D是BO3的中点

所以：只有当D是BO3中点的时候，AM才平行于BN

追问

那么如果是这样，能否根据题目画出图形，请说出具体画法。（必须是AM平行于BN，且MN垂直于a）

追答

1、划出平行线 a和b

2、在a和b之间 随便画一条斜线CD

3、标记CD的中点O2

4、在CO2之间任意标记一点，记为O1

5、标记O3，使得O2O3=O2O1，过O3作垂线MN

6、此时记录好O3D的长度，延长CD至B，使得DB=O3D

7、一旦B点确定，那么A点也就确定了。延长DC到A，使得O1A=O1B

8、连接AM和BN，按此画法，AM一定平行于BN

追问

如果确定了A,B的位置应怎么画？
即a平行于b，A,B在a,b两侧，求做AM平行于BN且MN垂直于a。

追答

如果坐标位置已经确定的话，AM和BN也已经是确认的了，无法改变

应该修正为：A点确定【A点离a线的距离确定】，求B点的坐标，使得AM平行于BN

这时我们可以求B的坐标，相当于求AB的长度和AB的倾斜度【斜率】