欧式空间是线性空间吗
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2013-12-06
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设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素@和#,在V中都有唯一的一个元素$与他们对应,称为@与#的和,记为$=@+#.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于数域P中任一数k与V中任一元素@,在V中都有唯一的一个元素$与他们对应,称为k与@的数量乘积,记为$=k@.如果加法与乘法还满足下述规则,那么V称为数域P上的线性空间.
加法满足下面四条规则:
1)@+#=#+@;
2)(@+#)+$=@+(#+$)
3)在V中有一元素O,对于V中任一元素@都有
@+O=@
(具有这个性质的元素O称为零元素)
4)对于V中每一个元素@,都有V中的元素#,使得
@+#=O
(#称为@的负元)
数量乘法满足下面两条规则:
5)1@=@;
6)k(l@)=(kl)@.
数量乘法和加法满足下面两条规则:
7)(k+l)@=k@+l@;
8)k(@+#)=k@+k#.
在以上规则中,k,l等表示数域P中的任意数;@,#,$等表示集合V中任意元素.
设V是实数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(@,#),它具有以下性质:
1)(@,#)=(#,@);
2)(k@,#)=k(@,#);
3)(@+#,$)=(@,$)+(#,$);
4)(@,@)>=0,当且仅当@=0时(@,@)=0.
这里@,#,$是V中任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间.
参考资料:《高等代数》(第三版)
加法满足下面四条规则:
1)@+#=#+@;
2)(@+#)+$=@+(#+$)
3)在V中有一元素O,对于V中任一元素@都有
@+O=@
(具有这个性质的元素O称为零元素)
4)对于V中每一个元素@,都有V中的元素#,使得
@+#=O
(#称为@的负元)
数量乘法满足下面两条规则:
5)1@=@;
6)k(l@)=(kl)@.
数量乘法和加法满足下面两条规则:
7)(k+l)@=k@+l@;
8)k(@+#)=k@+k#.
在以上规则中,k,l等表示数域P中的任意数;@,#,$等表示集合V中任意元素.
设V是实数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(@,#),它具有以下性质:
1)(@,#)=(#,@);
2)(k@,#)=k(@,#);
3)(@+#,$)=(@,$)+(#,$);
4)(@,@)>=0,当且仅当@=0时(@,@)=0.
这里@,#,$是V中任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间.
参考资料:《高等代数》(第三版)
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