Question

已知命题p:至少存在一个实数x0属于[1,2]使不等式x^2+2ax+2-a>0成立为真，求a的取值

如果分对称轴在区间左，右，中那答案应该是[-2，+∞）啊？！

Answer 1

命题p:至少存在一个实数x0∈[1,2]使不等式x^2+2ax+2-a>0成立为真，
设f(x)=x^2+2ax+2-a
=(x+a)^2-a^2-a+2
只需f(x)max>0即可
而求最大值只需讨论对称轴与区间中点关系即可。

f(x)对称轴为x=-a
当-a<3/2,即a<-3/2时，
f(x)max=f(2)=4+4a+2=6+4a>0
解得a>-3/2 ,与a<-3/2交集为空集
当-a≤3/2即a≥-3/2时，
f(x)max=f(1)=3+2a>0
∴a>-3/2
∴a>-3/2符合题意。

追问

为什么是和区间中点呢？这样根本就保证不了单调性

追答

图像开口朝上，距对称轴越远的x值对应的函数值越大。
对称轴在区间中点左边，2据对称轴远，函数值大
对称轴在区间中点右边，1据对称轴远，函数值大。

你要是求最小值，才需要讨论对称轴与区间的左，中，右三种关系。

追问

不说方法，把a=-2带入运算是满足的，可知你的答案错误

追答

方法肯定是没错的！
可能过程有其它的问题，盯着电脑有时眼花，年龄不饶人

设f(x)=x^2+2ax+2-a
=(x+a)^2-a^2-a+2
只需f(x)max>0即可
而求最大值只需讨论对称轴与区间中点关系即可。

f(x)对称轴为x=-a
当-a-3/2时，
f(x)max=f(2)=4+4a+2=6+4a>0
解得a>-3/2 均符合题意。

当-a≥3/2即a≤-3/2时，
f(x)max=f(1)=3+a>0
∴a>-3
那么-3-3

追问

啊，懂了，泪目，感激T^T

追答

OK