Question

lim (tanx-sinx)/sin2x^3=？ x趋于0

lim (tanx-sinx)/sin2x^3=limtanx/sin2x^3-limsinx/sin2x^3对吗？
？对于这道题来讲，x趋于0
高手，我想问你右边lim tanx/sin2x^3分子tanx用等价无穷小一代换就得到是lim sinx/sin2x^3 (tanx ~sinx 当x趋于0的时候)，这样一来极限就为0了。我知道0肯定是错的。可是错误在什么地方呢？我就是这里搞不懂。我知道原题是用洛必达法则求的，可是用洛必达好像很麻烦....
分母是前者，整个的3次方

Answer 1

错误！左边等于1/4，右边两个极限值都不存在（都为无穷大）
做法如下：
由于x趋于0，可以等号左边看出分子都趋于0，可以上下同时求导，
（1/cos平方x-cosx）/6x平方cos2x的3次方。分子分母同时乘以cos平方x 并且分母中将x=0把所有的cosx和cos2x都可以换成1(可以理解为将分母中含有cosx和cos2x的项提出来，发现x趋于0极限存在，所以可以替换掉)
得到 (1-cos的3次方)/6x平方 ，然后可以继续上下同时求导，
3cos平方xsinx/12x , 可以继续把cosx换成1。 继续求导，得到
3cosx/12 ，也就是在x趋于0的时候，极限值为1/4。
而右边两个极限都不存在，无法计算。

无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。
当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。
常见性质有：
设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ
性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′
证明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′
而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′
④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′

值得注意的是，等价无穷小只有在极限存在且可求的情况下替换，否则只能一步一步用洛必达法则了。这个法则还是不麻烦的，毕竟微分还是很简单的运算。。。

。。。分母是（sin2x）的3次方，还是sin(2*x的3次方) ？

Answer 2

详细解答如下：（虽然我已经传过）……