Question

双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为根号5除以2，已知p(0,5)到双曲线上的点最近距离2，

求双曲线方程

Answer 1

∵e=√5/2 ∴c/a=√5/2 可设a=2m , c=√5·m , 则b²=c²-a²=5m²-4m²=m²
∴双曲线的方程为 y²/(4m²)－x²/m²=1 , 即x²=(1/4)y²－m² …①
设双曲线上任意一点为 M（x,y)
则|PM|²=x²+(y－5)²=x²+y²－10y+25
将①代入得：|PM|²=(1/4)y²－m² +y²－10y+25
=（5/4)y²－10y+25－m²
=（5/4)(y－4)²+5－m² (|y|≥m)
当y=4时，|PM|²最小=2²=4 ，即 5－m²=4
∴m=1 满足条件
双曲线的方程为 y²/4－x²=1