帮我解一道数学题 ,急急!!!!!!!!
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学科：数学
教学内容：反函数
【基础知识精讲】
1.基础知识图表
2.反函数的概念
设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x).
函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.
函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.
3.反函数概念的理解
反函数实质上也是函数.
反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在.
并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值).
如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数.
函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域.
反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如，函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此，求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时，必须确定原来函数y＝f(x)的值域.
4.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数，其步骤为：
(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);
(2)将x、y互换，得到y＝f-1(x);
(3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域.
互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝ 的反函数仍是y＝ .
5.互为反函数图像间的关系
在同一个直角坐标系中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称.
在y＝f(x)与x＝f-1(y)中，x、y所表示的量相同，但是地位不同.在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数.在同一个直角坐标系中，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集.
6.反函数具备的其它性质
在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同.
若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有
f〔f-1(x)〕＝x(x∈C)；
f-1〔f(x)〕＝x(x∈A).
互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.
奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数.
具有单调性的函数必有反函数.
两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.
【重点难点解析】
1.求反函数的三步中，切记第三步必不可少，即由原函数y＝f(x)的值域确定反函数的定义域，求出反函数后，一定要给出反函数的定义域.
2.x＝f(y)与y＝f-1(x)是同一函数
这是因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同.
3.判定一个定义在A上的函数y＝f(x)有无反函数的方法
设x1、x2∈A且x1≠x2，判断f(x1)≠f(x2)是否恒成立，若是，则f(x)在A上有反函数；若否，则f(x)在A上无反函数；如果一个函数在某个区间上是单调函数，则它在该区间上有反函数.
4.分段函数的反函数的求法
设分段函数
y＝ 有反函数.它的反函数须分段求出，
即y＝
例1 求下列函数的反函数：(1)y＝3x +4(x≤0)；
(2)y＝ (-1≤x≤0)
解：(1)由y＝3x +4，得x ＝ ；
两边立方，得x2＝( )3
当且仅当( )3≥0即y≥4时，x在R-上有唯一解.即
x＝-( ) .
交换x、y，得y＝-( ) (x≥4).
这就是所求的反函数.
(2)由y＝ ，得x2＝1-y2①
当且仅当0≤1-y2≤1(y≥0)时，①在〔-1，0〕上有唯一解，即x＝- .
交换x、y，得y＝-( )(x∈〔0，1〕)
这就是所求的反函数.
评析 在ξ1.6讨论求函数的值域时，我们介绍了反求法，那时是寻求使x在定义域内有解的条件.而在这里，我们寻求的是使x在定义域内有唯一解的条件.你能说出其中的道理吗?
例2 已知f(x)＝ ，函数y＝g(x)的图像与函数y＝f-1(x+1)的图像关于直线y＝x对称，则g(11)等于( )
A. B. C. D.
解：先求f(x)＝ (x≠1)的反函数.
由y＝ ，得x＝ (y≠2).
将x与y交换，得f(x)的反函数f-1(x)＝ (x≠2).
∴f-1(x+1)＝ .
∵f-1(x+1)与g(x)关于y＝x对称，
∴f-1(x+1)与g(x)是互为反函数.
令 ＝11，解得x＝ ，∴g(11)＝ .故选B.
分析 f-1(x+1)表示以x+1代替反函数中的自变量，即先求f-1(x)，再以x+1替代x.f-1(x+1)不能理解成f(x+1)的反函数.
例3 已知f(x)＝ ，求f-1〔f(x)〕和f〔f-1(x)〕.
解：设y＝ (x≠-1)，则x＝ (y≠2).
∴f-1(x)＝ (x≠2)，
f-1〔f(x)〕＝ ＝x (x≠-1)，
f〔f-1(x)〕＝ ＝x (x≠2).
分析 f-1〔f(x)〕与f〔f-1(x)〕尽管均等于x，但由于定义域不同，因此它们是不同的函数.其中f-1〔f(x)〕中的x∈A，f〔f-1(x)〕中的x∈C.
例4 求函数f(x)＝ 的反函数.
分析 分析求出y＝x2-1(x≥0)与y＝2x-1(x＜0)的反函数，再写成一个函数的分段形式.
解：1°由y＝x2-1，得x2＝y+1
当且仅当，y+1≥0即y≥-1时，x在〔0，+∞〕上有唯一解，即x＝ .
故y＝x2-1(x≥0)的反函数是y＝ (x≥-1).
2°由y＝2x-1，得x＝ ①
∵x＜0，即 ＜0，得y＜-1
∴当且仅当y＜-1时，①在R-上有唯一解.
故y＝2x-1(x＜0)的反函数是y＝ (x＜-1).
由1°，2°知，所求反函数为
f-1(x)＝
【难解巧解点拨】
例1 已知函数f(x)＝ (a≠ )的图像关于直线y＝x对称，求a的值.
分析 所谓函数图像关于直线y＝x对称，即是说这个函数与其反函数是同一个函数.
解：由y＝ (x≠-a)，得x＝ (y≠2).
∴f-1(x)＝ (x≠2).
∵函数f(x)的图像关于直线y＝x对称，
∴f(x)与f-1(x)是同一个函数，
∴-a＝2,
∴a＝-2.
评析 如果两个函数相同，那么它们的对应法则相同且它们的定义域相同.
对于既不为0，也不为1的实数a，函数y＝ 的图像恒关于直线y＝x对称.你能证明这一结论吗?
例2 已知函数y＝f(x)的定义域是A，值域是C，且反函数f-1(x)存在.如果f(x)是A上的增函数，求证：f-1(x)是C上的增函数.
分析 依据函数的单调性定义证明.
证：设x1,x2∈C，且x1<x2，并令y1＝f-1(x1),y2＝f-1(x2).于是，有
x1＝f(y1),x2＝f(y2).
∴f(y1)<f(y2),
又∵f(x)是A上是增函数，
∴y1<y2,
即f-1(x1)<f-1(x2),
故f-1(x)在C上是增函数.
评析 函数f(x)与其反函数f-1(x)具有相同的增减性.
例3 已知函数y＝ax+b(a≠0)有反函数，且它的反函数就是它本身，求实数a、b应满足的条件.
分析 如果点(x0,y0)是原来的函数图像上的点，那么点(y0,x0)也在该函数的图像上.
解：设点(x0,y0)是函数y＝ax+b(a≠0)的图像上的任一点，则点(y0,x0)是其反函数图像上的点.因原来的函数的反函数就是它本身，故(y0,x0)也在函数y＝ax+b(a≠0)的图像上.
∴
∴ (a2-1)x0+b(a+1)＝0,
∴ a2-1＝0，且b(a+1)＝0,
∴ 或
评析 例3、例1是同一类型的问题，但给出了不同的解法.请细心品味.
【课本难题解答】
课本第69页，习题2.4节，第4题解答.
函数y＝ x+b的反函数为y＝5x-5b.
由已知y＝ax+3是y＝ x+b的反函数，
所以函数y＝5x-5b与函数y＝ax+3为同一个函数，由此得
解得
第5题解答：
证明：求函数y＝ (x≠-1)的反函数.
∵x≠-1 (1+x)y＝1-x
∴x(1+y)＝1-y
若y≠-1，得x＝ ，将x、y互换得：
y＝ (x≠-1)
由此证得函数y＝ (x≠-1)的反函数是该函数的自身.
分析 ①这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图形，利用这个特点，可知图像上如果有点P(a,b)，就必然有点P′(b,a).
②由于函数可变形为y＝ -1(x≠-1)
因此，这个函数的图像可以由反比例函数图像向右，向下各平移一个单位得到.
第6题(1)例： y＝f(x)＝2x+3与x＝f-1(y)＝ (y-3)的图像相同.
在同一个坐标系内，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像相同.
(2)例：f(x)＝x3，f-1(x)＝ 两个函数图像关于直线y＝x对称.
在同一个坐标系内，y＝f(x)与它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.
【命题趋势分析】
(1)本知识在高考中主要考查：①能根据原函数的解析式求出反函数的解析式；②利用原函数与反函数图象之间的关系解题；③利用原函数与反函数的定义域和值域之间的关系解题；④画图像，解决图像问题.
(2)历届高考考查题型，以选择题、填空题为主，多数是中低档题，重点考查概念.
(3)思考与解决问题过程中，主要运用方程的思想和数形结合的思想和方法.
(4)反函数的概念在高考试题中频繁出现.如反函数的符号、意义、求反函数的方法及互为反函数的图像之间的关系等.尤其注意，求反函数是重中之重.反函数的概念和图像同二次函数、指数函数、对数函数相结合.考查反函数的定义域、值域、图像及单调性、奇偶性等，仍然是今后高考考查的方向.
【典型热点考题】
例1 1999年高考数学(文史类)试题(9)，已知函数y＝ (x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为( )
A.y＝ (x∈R，且x≠1) B.y＝ (x∈R，且x≠6)
C.y＝ (x∈R，且x≠- ) D.y＝ (x∈R，且x≠-5)
它与课本例题差别仅在于分子的系数.
在课本中，通过例题说明求函数的反函数的步骤是：(1)由y＝f(x)反解出x＝f-1(y)；(2)将x、y互换，改写为y＝f-1(x)；(3)由y＝f(x)的值域确定反函数的定义域.∴应选B.
例2 设函数y＝1- (-1≤x≤0)，则函数y＝f-1(x)的图像是如下图中的( )
解法1：
∵y＝1- 的定义域为〔-1，0〕，∴它的反函数y＝f-1(x)的值域为〔-1，0〕，由此可以排除A，C.
如何从B，D中作出选择呢?根据互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称这一基本性质，我们可以选择一个特殊点.
∵y＝f(x)＝1- (-1≤x≤0)的图像是经过点(- ,1- ).
∴y＝f-1(x)的图像必过点(1- ,- ).
在D中，当y＝- 时，x比较接近于1，因此x≠1- ＜0.15.
∴应选B.
解法2：由f(x)＝1- (-1≤x≤0)
求出其值域为y∈〔0，1〕，可知原函数的图像为A，再根据原函数与其反函数的图像关于直线y＝x对称，可知f-1(x)的图像应为B.
∴应选B.
注 本题主要考查反函数的有关概念，要求对原函数与反函数之间的关系有深刻的理解，同时也考查了数形结合的思想.
例3 若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x),f(a)＝b,ab≠0，则g(b)等于( )
A.a B.a-1 C.b D.b-1
分析 本题主要考查反函数的性质和运用.根据题设，也可取特殊函数、特殊点等方法加以验证.
解：∵点(a,b)在原函数y＝f(x)的图像上，
∴(b,a)应在其反函数y＝f-1(x)的图像上.
∴g(b)＝a.
∴应选A.
例4 函数f(x)＝(x-1) +2的反函数是f-1(x)＝ .
解：由y＝(x-1) +2得(x-1) ＝y-2,x-1＝(y-2)3,x＝(y-2)3+1，所以所求的函数的反函数为y＝(x-2)3+1.
∴应填(x-2)3+1.
【知识验证实验】
1.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些?
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?
(4)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M＝ ，它能高于45吗?
解：(1)当0＜x≤10时，
f(x)＝-0.1x2+2.6x+43＝-0.1(x-13)2+59.9,
故f(x)递增，最大值为f(10)＝-0.1×(-3)2+59.9＝59;显然，当16＜x≤30时，f(x)递减，f(x)＜-3×16+107＝59.
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6分钟.
(2)f(5)＝-0.1×(5-13)2+59.9＝59.9-6.4＝53.5
f(20)＝-3×20+107＝47＜53.5.
因此开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.
(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则
-0.1×(x-13)2＝-4.9
(x-13)2＝49，
所以x＝20或6，但0＜x≤10，故x＝6.
当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则-3x+107＝55，所以x＝17 .
因此学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 -6＝11 ＜13(分钟)，老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.
(4)f(5)＝53.5,f(10)＝59,f(15)＝59,f(20)＝47均已计算得，还有f(25)＝-3×25+107＝32,f(30)＝-3×30+107＝17.
所以M＝ ＝ ≈44.6＜45.
故知平均值不能高于45.
【知识探究学习】
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可以洗掉蔬菜上残留农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水洗清一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗所残留的农药量之比为函数f(x).
(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
(2)试根据假定求出函数f(x)应该满足的条件和具体的性质；
(3)设f(x)＝ .现有a(a＞0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
解：(1)f(0)＝1表示没在用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.
(2)函数f(x)应该满足的条件和具体的性质是f(0)＝1,f(1)＝ .
在〔0，+∞)上f(x)单调递减，且0＜f(x)≤1.
(3)设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝ ，清洗两次后，残留的农药量为f2＝ ＝ ,
则f1-f2＝ - ＝ .
于是，当a＞2 时，f1＞f2;
当a＝2 时，f1＝f2;
当0＜a＜2 时，f1＜f2.
因此，当a>2 时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a＝2 时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2 时，一次清洗残留的农药量较少.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.y＝a- (x≥a)的反函数是( )
A.y＝(x-a)2+a(x≥a) B.y＝(x-a)2-a(x≥a)
C.y＝(x-a)2+a(x≤a) D.y＝(x-a)2-a(x≤a)
2.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是( )
A.有且仅有一实根 B.至多有一实根
C.至少有一实根 D.0个，1个或1个以上实根
3.点(a,b)在y＝f(x)的图像上，则下列各点中必在其反函数图像上的点是( )
A.(a,f-1(a)) B.(f-1(b),b) C.(f-1(a),a) D.(b,f-1(b))
4.设有三个函数，第一个函数是y＝f(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于原点对称，那么第三个函数是( )
A.y＝-f(x) B.y＝f-1(-x) C.y＝-f-1(-x) D.y＝f-1(x)
5.函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝-f-1(x)的图像经过( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
6.在下列区间中，使y＝2｜x｜不存在反函数的区间是( )
A.〔2，4〕 B.〔-4，4〕 C.〔0，+∞〕 D.(-∞，0〕
7.若函数y＝f-1(x)的图像经过点(-2，0)，则函数y＝f(x+5)的图像经过点( )
A.(5,-2) B.(-2,-5) C.(-5,-2) D.(2，-5)
二、填空题
1.函数y＝ 的值域为 .
2.已知函数f(x)定义在(-∞，0〕上，且f(x+1)＝x2+2x，则f-1(1)＝ .
3.直线y＝ax+2与直线y＝3x-b关于直线y＝x对称，则a＝ ,b＝ .
4.若函数f(x)＝ (a≠ )的图像关于y＝x对称，则a＝ .
5.函数f(x)＝ax3+ax-1的反函数的图像必过点 .
6.已知f(x)＝ 的反函数就是自身，则a＝ ,b＝ .
7.y＝ 是否有反函数? ；当x∈〔0, 〕时，反函数为 ，定义域为 ；当x∈〔- ，0〕时，反函数为 ，定义域为 .
8.已知f(x)＝ (x∈R且x≠- )，f-1(2)的值为 .
三、解答题
1.函数f(x)＝x-n(x＜0,n∈Z)是否存在反函数?若不存在说明理由.若存在，求出f-1(x)，并判断是增函数还是减函数?
2.已知f(x)＝x2,g(x)＝ x+5，设F(x)＝f〔g-1(x)〕-g-1〔f(x)〕.试求F(x)的最小值.
3.已知函数y＝f(x)的反函数为y＝f-1(x).
(1)试求函数y＝f(mx+n)(m≠0)的反函数；
(2)试求函数y＝f(ax3+b)(a≠0)的反函数.
【素质优化训练】
1.求函数f(x)＝ 的反函数.
2.设函数f(x)＝ ，已知函数y＝g(x)的图像与y＝f-1(x+1)的图像关于直线y＝x对称，求g(3)的值.
3.已知f(x)＝ (x≠-a,a≠ )
(1)求f(x)的反函数；
(2)若f(x)＝f-1(x)，求a的值；
(3)如何作出满足(2)中条件的y＝f-1(x)的图像.
参考答案：
【同步达纲练习】
一、1.C 2.B 3.D 4.C 5.选B 6.B 7.C
二、1.｛y｜y∈R，且y≠- ｝ 2.- 3.a＝ b＝6 4.a＝-5 5.(0，-1) 6.0，非零实数 7.没有；y＝ ;〔0，4〕；y＝- ;〔0，4〕 8.-
三、1.n＝0时，f(x)＝1，不存在反函数.
当n为非零偶数时，f-1(x)＝- ＝-x (x>0)①n>0，
且n∈Z，f-1(x)为增函数，②n<0，且n∈Z,f-1(x)为减函数.
当n为奇数时，y＝x-n(x<0,y<0)，
反函数f-1(x)＝x (x<0)①n>0且n∈Z，f-1(x)为减函数
②n<0且n∈Z，f-1(x)为增函数 2.-90.
3.(1)y＝ f-1(x)- (2)y＝
【素质优化训练】
1.f(x)＝
2.
3.解：(1)y＝ (x≠2)
(2)a＝-2
(3)f-1(x)＝ ＝2+ (x≠2 y≠2).要得y＝f-1(x)的图像，只需将y＝ 向右平移2个单位，再向上平移2个单位，即得y＝f-1(x)的图像.(图像略)
教学内容：反函数
【基础知识精讲】
1.基础知识图表
2.反函数的概念
设y＝f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数，记作x＝f-1(y)，通常将它改写成y＝f-1(x).
函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.
函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.
3.反函数概念的理解
反函数实质上也是函数.
反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在.
并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值).
如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数，即它们互为反函数.
函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域.
反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如，函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数，因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此，求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时，必须确定原来函数y＝f(x)的值域.
4.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数，其步骤为：
(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);
(2)将x、y互换，得到y＝f-1(x);
(3)根据y＝f(x)的值域，写出y＝f-1(x)的定义域.
互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x，函数y＝ 的反函数仍是y＝ .
5.互为反函数图像间的关系
在同一个直角坐标系中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地，当函数与其反函数相同时，函数的图像本身关于直线y＝x对称.
在y＝f(x)与x＝f-1(y)中，x、y所表示的量相同，但是地位不同.在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数.在同一个直角坐标系中，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集.
6.反函数具备的其它性质
在y＝f(x)与y＝f-1(x)中，x、y所处的地位相同，但表示的量的意义不同.
若y＝f(x)(x∈A)，与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数，则有
f〔f-1(x)〕＝x(x∈C)；
f-1〔f(x)〕＝x(x∈A).
互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.
奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数.
具有单调性的函数必有反函数.
两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上.
【重点难点解析】
1.求反函数的三步中，切记第三步必不可少，即由原函数y＝f(x)的值域确定反函数的定义域，求出反函数后，一定要给出反函数的定义域.
2.x＝f(y)与y＝f-1(x)是同一函数
这是因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同.
3.判定一个定义在A上的函数y＝f(x)有无反函数的方法
设x1、x2∈A且x1≠x2，判断f(x1)≠f(x2)是否恒成立，若是，则f(x)在A上有反函数；若否，则f(x)在A上无反函数；如果一个函数在某个区间上是单调函数，则它在该区间上有反函数.
4.分段函数的反函数的求法
设分段函数
y＝ 有反函数.它的反函数须分段求出，
即y＝
例1 求下列函数的反函数：(1)y＝3x +4(x≤0)；
(2)y＝ (-1≤x≤0)
解：(1)由y＝3x +4，得x ＝ ；
两边立方，得x2＝( )3
当且仅当( )3≥0即y≥4时，x在R-上有唯一解.即
x＝-( ) .
交换x、y，得y＝-( ) (x≥4).
这就是所求的反函数.
(2)由y＝ ，得x2＝1-y2①
当且仅当0≤1-y2≤1(y≥0)时，①在〔-1，0〕上有唯一解，即x＝- .
交换x、y，得y＝-( )(x∈〔0，1〕)
这就是所求的反函数.
评析 在ξ1.6讨论求函数的值域时，我们介绍了反求法，那时是寻求使x在定义域内有解的条件.而在这里，我们寻求的是使x在定义域内有唯一解的条件.你能说出其中的道理吗?
例2 已知f(x)＝ ，函数y＝g(x)的图像与函数y＝f-1(x+1)的图像关于直线y＝x对称，则g(11)等于( )
A. B. C. D.
解：先求f(x)＝ (x≠1)的反函数.
由y＝ ，得x＝ (y≠2).
将x与y交换，得f(x)的反函数f-1(x)＝ (x≠2).
∴f-1(x+1)＝ .
∵f-1(x+1)与g(x)关于y＝x对称，
∴f-1(x+1)与g(x)是互为反函数.
令 ＝11，解得x＝ ，∴g(11)＝ .故选B.
分析 f-1(x+1)表示以x+1代替反函数中的自变量，即先求f-1(x)，再以x+1替代x.f-1(x+1)不能理解成f(x+1)的反函数.
例3 已知f(x)＝ ，求f-1〔f(x)〕和f〔f-1(x)〕.
解：设y＝ (x≠-1)，则x＝ (y≠2).
∴f-1(x)＝ (x≠2)，
f-1〔f(x)〕＝ ＝x (x≠-1)，
f〔f-1(x)〕＝ ＝x (x≠2).
分析 f-1〔f(x)〕与f〔f-1(x)〕尽管均等于x，但由于定义域不同，因此它们是不同的函数.其中f-1〔f(x)〕中的x∈A，f〔f-1(x)〕中的x∈C.
例4 求函数f(x)＝ 的反函数.
分析 分析求出y＝x2-1(x≥0)与y＝2x-1(x＜0)的反函数，再写成一个函数的分段形式.
解：1°由y＝x2-1，得x2＝y+1
当且仅当，y+1≥0即y≥-1时，x在〔0，+∞〕上有唯一解，即x＝ .
故y＝x2-1(x≥0)的反函数是y＝ (x≥-1).
2°由y＝2x-1，得x＝ ①
∵x＜0，即 ＜0，得y＜-1
∴当且仅当y＜-1时，①在R-上有唯一解.
故y＝2x-1(x＜0)的反函数是y＝ (x＜-1).
由1°，2°知，所求反函数为
f-1(x)＝
【难解巧解点拨】
例1 已知函数f(x)＝ (a≠ )的图像关于直线y＝x对称，求a的值.
分析 所谓函数图像关于直线y＝x对称，即是说这个函数与其反函数是同一个函数.
解：由y＝ (x≠-a)，得x＝ (y≠2).
∴f-1(x)＝ (x≠2).
∵函数f(x)的图像关于直线y＝x对称，
∴f(x)与f-1(x)是同一个函数，
∴-a＝2,
∴a＝-2.
评析 如果两个函数相同，那么它们的对应法则相同且它们的定义域相同.
对于既不为0，也不为1的实数a，函数y＝ 的图像恒关于直线y＝x对称.你能证明这一结论吗?
例2 已知函数y＝f(x)的定义域是A，值域是C，且反函数f-1(x)存在.如果f(x)是A上的增函数，求证：f-1(x)是C上的增函数.
分析 依据函数的单调性定义证明.
证：设x1,x2∈C，且x1<x2，并令y1＝f-1(x1),y2＝f-1(x2).于是，有
x1＝f(y1),x2＝f(y2).
∴f(y1)<f(y2),
又∵f(x)是A上是增函数，
∴y1<y2,
即f-1(x1)<f-1(x2),
故f-1(x)在C上是增函数.
评析 函数f(x)与其反函数f-1(x)具有相同的增减性.
例3 已知函数y＝ax+b(a≠0)有反函数，且它的反函数就是它本身，求实数a、b应满足的条件.
分析 如果点(x0,y0)是原来的函数图像上的点，那么点(y0,x0)也在该函数的图像上.
解：设点(x0,y0)是函数y＝ax+b(a≠0)的图像上的任一点，则点(y0,x0)是其反函数图像上的点.因原来的函数的反函数就是它本身，故(y0,x0)也在函数y＝ax+b(a≠0)的图像上.
∴
∴ (a2-1)x0+b(a+1)＝0,
∴ a2-1＝0，且b(a+1)＝0,
∴ 或
评析 例3、例1是同一类型的问题，但给出了不同的解法.请细心品味.
【课本难题解答】
课本第69页，习题2.4节，第4题解答.
函数y＝ x+b的反函数为y＝5x-5b.
由已知y＝ax+3是y＝ x+b的反函数，
所以函数y＝5x-5b与函数y＝ax+3为同一个函数，由此得
解得
第5题解答：
证明：求函数y＝ (x≠-1)的反函数.
∵x≠-1 (1+x)y＝1-x
∴x(1+y)＝1-y
若y≠-1，得x＝ ，将x、y互换得：
y＝ (x≠-1)
由此证得函数y＝ (x≠-1)的反函数是该函数的自身.
分析 ①这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图形，利用这个特点，可知图像上如果有点P(a,b)，就必然有点P′(b,a).
②由于函数可变形为y＝ -1(x≠-1)
因此，这个函数的图像可以由反比例函数图像向右，向下各平移一个单位得到.
第6题(1)例： y＝f(x)＝2x+3与x＝f-1(y)＝ (y-3)的图像相同.
在同一个坐标系内，y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像相同.
(2)例：f(x)＝x3，f-1(x)＝ 两个函数图像关于直线y＝x对称.
在同一个坐标系内，y＝f(x)与它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.
【命题趋势分析】
(1)本知识在高考中主要考查：①能根据原函数的解析式求出反函数的解析式；②利用原函数与反函数图象之间的关系解题；③利用原函数与反函数的定义域和值域之间的关系解题；④画图像，解决图像问题.
(2)历届高考考查题型，以选择题、填空题为主，多数是中低档题，重点考查概念.
(3)思考与解决问题过程中，主要运用方程的思想和数形结合的思想和方法.
(4)反函数的概念在高考试题中频繁出现.如反函数的符号、意义、求反函数的方法及互为反函数的图像之间的关系等.尤其注意，求反函数是重中之重.反函数的概念和图像同二次函数、指数函数、对数函数相结合.考查反函数的定义域、值域、图像及单调性、奇偶性等，仍然是今后高考考查的方向.
【典型热点考题】
例1 1999年高考数学(文史类)试题(9)，已知函数y＝ (x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为( )
A.y＝ (x∈R，且x≠1) B.y＝ (x∈R，且x≠6)
C.y＝ (x∈R，且x≠- ) D.y＝ (x∈R，且x≠-5)
它与课本例题差别仅在于分子的系数.
在课本中，通过例题说明求函数的反函数的步骤是：(1)由y＝f(x)反解出x＝f-1(y)；(2)将x、y互换，改写为y＝f-1(x)；(3)由y＝f(x)的值域确定反函数的定义域.∴应选B.
例2 设函数y＝1- (-1≤x≤0)，则函数y＝f-1(x)的图像是如下图中的( )
解法1：
∵y＝1- 的定义域为〔-1，0〕，∴它的反函数y＝f-1(x)的值域为〔-1，0〕，由此可以排除A，C.
如何从B，D中作出选择呢?根据互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称这一基本性质，我们可以选择一个特殊点.
∵y＝f(x)＝1- (-1≤x≤0)的图像是经过点(- ,1- ).
∴y＝f-1(x)的图像必过点(1- ,- ).
在D中，当y＝- 时，x比较接近于1，因此x≠1- ＜0.15.
∴应选B.
解法2：由f(x)＝1- (-1≤x≤0)
求出其值域为y∈〔0，1〕，可知原函数的图像为A，再根据原函数与其反函数的图像关于直线y＝x对称，可知f-1(x)的图像应为B.
∴应选B.
注 本题主要考查反函数的有关概念，要求对原函数与反函数之间的关系有深刻的理解，同时也考查了数形结合的思想.
例3 若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x),f(a)＝b,ab≠0，则g(b)等于( )
A.a B.a-1 C.b D.b-1
分析 本题主要考查反函数的性质和运用.根据题设，也可取特殊函数、特殊点等方法加以验证.
解：∵点(a,b)在原函数y＝f(x)的图像上，
∴(b,a)应在其反函数y＝f-1(x)的图像上.
∴g(b)＝a.
∴应选A.
例4 函数f(x)＝(x-1) +2的反函数是f-1(x)＝ .
解：由y＝(x-1) +2得(x-1) ＝y-2,x-1＝(y-2)3,x＝(y-2)3+1，所以所求的函数的反函数为y＝(x-2)3+1.
∴应填(x-2)3+1.
【知识验证实验】
1.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些?
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?
(4)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M＝ ，它能高于45吗?
解：(1)当0＜x≤10时，
f(x)＝-0.1x2+2.6x+43＝-0.1(x-13)2+59.9,
故f(x)递增，最大值为f(10)＝-0.1×(-3)2+59.9＝59;显然，当16＜x≤30时，f(x)递减，f(x)＜-3×16+107＝59.
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6分钟.
(2)f(5)＝-0.1×(5-13)2+59.9＝59.9-6.4＝53.5
f(20)＝-3×20+107＝47＜53.5.
因此开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.
(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则
-0.1×(x-13)2＝-4.9
(x-13)2＝49，
所以x＝20或6，但0＜x≤10，故x＝6.
当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则-3x+107＝55，所以x＝17 .
因此学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 -6＝11 ＜13(分钟)，老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.
(4)f(5)＝53.5,f(10)＝59,f(15)＝59,f(20)＝47均已计算得，还有f(25)＝-3×25+107＝32,f(30)＝-3×30+107＝17.
所以M＝ ＝ ≈44.6＜45.
故知平均值不能高于45.
【知识探究学习】
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可以洗掉蔬菜上残留农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水洗清一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗所残留的农药量之比为函数f(x).
(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
(2)试根据假定求出函数f(x)应该满足的条件和具体的性质；
(3)设f(x)＝ .现有a(a＞0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
解：(1)f(0)＝1表示没在用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.
(2)函数f(x)应该满足的条件和具体的性质是f(0)＝1,f(1)＝ .
在〔0，+∞)上f(x)单调递减，且0＜f(x)≤1.
(3)设仅清洗一次，残留的农药量为f1＝ ，清洗两次后，残留的农药量为f2＝ ＝ ,
则f1-f2＝ - ＝ .
于是，当a＞2 时，f1＞f2;
当a＝2 时，f1＝f2;
当0＜a＜2 时，f1＜f2.
因此，当a>2 时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a＝2 时，两种清洗方法具有相同的效果；
当0＜a＜2 时，一次清洗残留的农药量较少.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.y＝a- (x≥a)的反函数是( )
A.y＝(x-a)2+a(x≥a) B.y＝(x-a)2-a(x≥a)
C.y＝(x-a)2+a(x≤a) D.y＝(x-a)2-a(x≤a)
2.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是( )
A.有且仅有一实根 B.至多有一实根
C.至少有一实根 D.0个，1个或1个以上实根
3.点(a,b)在y＝f(x)的图像上，则下列各点中必在其反函数图像上的点是( )
A.(a,f-1(a)) B.(f-1(b),b) C.(f-1(a),a) D.(b,f-1(b))
4.设有三个函数，第一个函数是y＝f(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于原点对称，那么第三个函数是( )
A.y＝-f(x) B.y＝f-1(-x) C.y＝-f-1(-x) D.y＝f-1(x)
5.函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝-f-1(x)的图像经过( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
6.在下列区间中，使y＝2｜x｜不存在反函数的区间是( )
A.〔2，4〕 B.〔-4，4〕 C.〔0，+∞〕 D.(-∞，0〕
7.若函数y＝f-1(x)的图像经过点(-2，0)，则函数y＝f(x+5)的图像经过点( )
A.(5,-2) B.(-2,-5) C.(-5,-2) D.(2，-5)
二、填空题
1.函数y＝ 的值域为 .
2.已知函数f(x)定义在(-∞，0〕上，且f(x+1)＝x2+2x，则f-1(1)＝ .
3.直线y＝ax+2与直线y＝3x-b关于直线y＝x对称，则a＝ ,b＝ .
4.若函数f(x)＝ (a≠ )的图像关于y＝x对称，则a＝ .
5.函数f(x)＝ax3+ax-1的反函数的图像必过点 .
6.已知f(x)＝ 的反函数就是自身，则a＝ ,b＝ .
7.y＝ 是否有反函数? ；当x∈〔0, 〕时，反函数为 ，定义域为 ；当x∈〔- ，0〕时，反函数为 ，定义域为 .
8.已知f(x)＝ (x∈R且x≠- )，f-1(2)的值为 .
三、解答题
1.函数f(x)＝x-n(x＜0,n∈Z)是否存在反函数?若不存在说明理由.若存在，求出f-1(x)，并判断是增函数还是减函数?
2.已知f(x)＝x2,g(x)＝ x+5，设F(x)＝f〔g-1(x)〕-g-1〔f(x)〕.试求F(x)的最小值.
3.已知函数y＝f(x)的反函数为y＝f-1(x).
(1)试求函数y＝f(mx+n)(m≠0)的反函数；
(2)试求函数y＝f(ax3+b)(a≠0)的反函数.
【素质优化训练】
1.求函数f(x)＝ 的反函数.
2.设函数f(x)＝ ，已知函数y＝g(x)的图像与y＝f-1(x+1)的图像关于直线y＝x对称，求g(3)的值.
3.已知f(x)＝ (x≠-a,a≠ )
(1)求f(x)的反函数；
(2)若f(x)＝f-1(x)，求a的值；
(3)如何作出满足(2)中条件的y＝f-1(x)的图像.
参考答案：
【同步达纲练习】
一、1.C 2.B 3.D 4.C 5.选B 6.B 7.C
二、1.｛y｜y∈R，且y≠- ｝ 2.- 3.a＝ b＝6 4.a＝-5 5.(0，-1) 6.0，非零实数 7.没有；y＝ ;〔0，4〕；y＝- ;〔0，4〕 8.-
三、1.n＝0时，f(x)＝1，不存在反函数.
当n为非零偶数时，f-1(x)＝- ＝-x (x>0)①n>0，
且n∈Z，f-1(x)为增函数，②n<0，且n∈Z,f-1(x)为减函数.
当n为奇数时，y＝x-n(x<0,y<0)，
反函数f-1(x)＝x (x<0)①n>0且n∈Z，f-1(x)为减函数
②n<0且n∈Z，f-1(x)为增函数 2.-90.
3.(1)y＝ f-1(x)- (2)y＝
【素质优化训练】
1.f(x)＝
2.
3.解：(1)y＝ (x≠2)
(2)a＝-2
(3)f-1(x)＝ ＝2+ (x≠2 y≠2).要得y＝f-1(x)的图像，只需将y＝ 向右平移2个单位，再向上平移2个单位，即得y＝f-1(x)的图像.(图像略)
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设甲每天的费用为x元，乙每天的费用为y元，则
8x+8y=3520
6x+12y=3480
得出x=300元
y=140元
所以1，甲乙两组单独做一天商店应付300+140=440元
2，甲单独做12天的费用为3600元
乙单独做24天的费用为3360元
8x+8y=3520
6x+12y=3480
得出x=300元
y=140元
所以1，甲乙两组单独做一天商店应付300+140=440元
2，甲单独做12天的费用为3600元
乙单独做24天的费用为3360元
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设乙有X米，那么甲就有4X米。根据题意可得：
4x-10=x-1
3x=9
x=3
即乙有3米，甲12米。
《答案绝对正确，望采纳》
4x-10=x-1
3x=9
x=3
即乙有3米，甲12米。
《答案绝对正确，望采纳》
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1.n＝0时，f(x)＝1，不存在反函数.
当n为非零偶数时，f-1(x)＝- ＝-x (x>0)①n>0，
且n∈Z，f-1(x)为增函数，②n<0，且n∈Z,f-1(x)为减函数.
当n为奇数时，y＝x-n(x<0,y<0)，
反函数f-1(x)＝x (x<0)①n>0且n∈Z，f-1(x)为减函数
②n<0且n∈Z，f-1(x)为增函数 2.-90.
3.(1)y＝ f-1(x)- (2)y＝
当n为非零偶数时，f-1(x)＝- ＝-x (x>0)①n>0，
且n∈Z，f-1(x)为增函数，②n<0，且n∈Z,f-1(x)为减函数.
当n为奇数时，y＝x-n(x<0,y<0)，
反函数f-1(x)＝x (x<0)①n>0且n∈Z，f-1(x)为减函数
②n<0且n∈Z，f-1(x)为增函数 2.-90.
3.(1)y＝ f-1(x)- (2)y＝
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设甲为X
乙为Y
得到X-10=Y-1和4Y=X
然后解方程组
得到(X=6,Y=3)
所以甲等于6乙等于3
乙为Y
得到X-10=Y-1和4Y=X
然后解方程组
得到(X=6,Y=3)
所以甲等于6乙等于3
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