Question

设函数f(x)=ax-b/x，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0

证明曲线上任一点处切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值。看了答案，最后一步不懂！求出来两个交点（0，-6/x0）和(2x0,2x0) 为什么面积是：1/2· 2x0 -6/x0 ?求大神解答！！！跪求!!!

Answer 1

(2,f(2))在直线7x-4y-12=0,
14-4f(2)-12=0,

∴f(2)=1/2,
即2a-b/2=1/2①
直线7x-4y-12=0斜率为7/4,
f'(x)=a+b/x^2,

∴f'(2)=a+b/4=7/4②
结合①②得
a=1,b=3
∴f(x)=x-3/x,
f'(x)=1+3/x^2
2)设切点(t,
t-3/t),
切线斜率为1+3/t^2
∴切线:
y=(1+3/t^2)(x-t)+t-3/t,
即y=(1+3/t^2)x-6/t
∴切线与x=0交点(0,-6/t),
与y=x交点(2t,2t)
∴三角形面积=(1/2)*|-6/t|*|2t|=6,是定值

Answer 2

第一个交点纵坐标是三角形的底，第二个交点的横坐标就是三角形的高啊

追问

就是无法理解啊！那三角形形状不定啊！

追答

可以解出原函数为y=x-3/x，任意切点(x, x-3/x)处的切线方程(1+3/x^2)(X-x)=Y-x+3/x, 这样就可以求出切点，只要切线和y轴还有y=x能围城三角形，总是可以看成，切线在y轴上的纵坐标y绝对值为底长，而和y=x交点的横轴坐标x绝对值为高，你在纸上画下看看是不是这样的，不需要看三角形的具体形状