Question

如图，抛物线y=x的平方+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2

1.求抛物线的函数解析式
2.设p为对称轴上一动点，求三角形APC的周长的最小值
3.设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为

Answer 1

解：1）因为y=x²+bx+c对称轴为x=2且AB=2

            所以A(1，0)、B(3，0)

            分别将A(1，0)、B(3，0)代入y=x²+bx+c得：

             0=1+b+c

             0=9+3b+c

            联立求解得：

             b=-4

             c=

            所以抛物线解析式为y=x²-4x+3

       2）设P(2，y)

            根据两点间距离公式得：

                CP=√[(0-2)²+(3-y)²]=√[4+(3-y)²]

                AP=√[(1-2)²+(0-y)²]=√(1+y²)

                AC=√10

            因为AC定长

            所以当CP+AP取最小值时，△APC周长最小

            （脑袋大了，休息一会，再做）    

       3）因为以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形

            所以AB、DE互相垂直平分（菱形性质）

            所以D点在对称轴上

            将x=2代入y=x²-4x+3得：y=-1

            即：D(2，-1)