曲面积分求详细计算 10
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这是第二型曲面积分，曲面的显示表达式为z＝－根号(R^2－x^2－y^2)
法向量的第三个分量是－1，记D为x^2+y^2<=R^2，于是
原积分＝二重积分_(D) x^2*y^2*(－根号(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
注意上式最后一个－1是因为求的是下侧。
用极坐标x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式为r，
＝积分（从0到R）dr 积分（从0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根号(R^2－r^2)rda
关于a的积分＝积分（从0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
关于r的积分在做变量替换r＝sina，0<=a<=pi/2，
化为积分（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得
＝2pi/105。
法向量的第三个分量是－1，记D为x^2+y^2<=R^2，于是
原积分＝二重积分_(D) x^2*y^2*(－根号(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
注意上式最后一个－1是因为求的是下侧。
用极坐标x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式为r，
＝积分（从0到R）dr 积分（从0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根号(R^2－r^2)rda
关于a的积分＝积分（从0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
关于r的积分在做变量替换r＝sina，0<=a<=pi/2，
化为积分（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得
＝2pi/105。
追问
不对啊，答案是-π/2
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东莞大凡
2024-11-19 广告
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