Question

已知函数f（x）=2mx^2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,对任意实数，f（x）与g（x）至少有

已知函数f（x）=2mx^2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,对任意实数，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范

显然m=0不合题意。
m≠0时g(x)的值域是R,
∴对任意实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数,只能m>0,
∴(4-m)^2-2m<0,①
或x<=0,f(x)>0.②
由①得2<m<8,
由②，（4-m)/(2m)>0,f(0)=1>0,∴0<m<4.
求两者的并集，得0<m<8,为所求。
为什么或x<=0,f(x)>0.② 由②，（4-m)/(2m)>0,f(0)=1>0,∴0<m<4.这是怎么得到的？还有为什么是并集不是交集？

Answer 1

（1）开口向上的二次曲线，在x轴的上方。即f(x)=0无实数解。f(x)>0是正数。
（2）开口向上的二次曲线，与x轴有交点。因为f(x)过定点(0,1)，对称轴只能在y轴的右边。
对称轴方程通过配方法可得，x=(4-m)/2m，所以，(4-m)/2m>0
如果，对称轴在y轴左边，存在x<0,满足f(x)<=0。即会出现不是（至少一个正数）的情况。这是不符合题意的。
（3）取并集，（1）的情况符合题意，（2）的情况也符合题意。

Answer 2

m大于0 理解之后 gx是一个过原点的直线必然有大于0 和小于0的时候
f（x）与g（x）至少有一个为正数意味着
gx>0时fx无所谓了
gx<0时 fx>0
2此函数的对称轴要是大于0
所以得到那个式子 对称轴公式 大于0表示他们同号
都大于0时 0<m<4 都小于0时 2m<0 m<0 -m>0 4-m>0 矛盾

所以m>0
分类讨论时 取并集 表示他们地位一样 哪一个出现都能满足条件