Question

当0<p≤1时,怎么证明级数1/n∧p的收敛性

Answer 1

1）由于
lim(n→∞)|㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}|/[1/(n^p)]
= lim(n→∞)|[(-1)^n]/(n^p)|/[1/(n^p)]
= 1，
故当 p>1 时，级数 ∑[1/(n^p)] 收敛，故原级数 ∑㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)} 绝对收敛；而当 p≤1 时，级数 ∑[1/(n^p)] 发散，故原级数非绝对收敛。
2）当 p≤1 时，考虑级数
∑[(-1)^n]{[(-1)^n]㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}}，
记
u[n] = [(-1)^n]㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}，
则 u[n]>0，且
|u[n]| = |[(-1)^n]㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}|
≤ 1/(n^p) → 0 (n→∞),
得知
lim(n→∞) u[n] = 0，
又
u[n]-u[n+1]
= [(-1)^n]{㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}+㏑{1+[(-1)^(n+1)]/[(n+1)^p]}
= …… > 0，

Answer 2

如果级数的通项乘以－1,则成为正项级数. 所以以下考虑级数
∑[√(n+1)-√n]^p×ln[(n+1)/(n-1)]
ln[(n+1)/(n-1)]＝ln[1＋2/(n-1)]等价于2/(n-1),进而等价于2/n
[√(n+1)-√n]^p＝1/[√(n+1)+√n]^p等价于1/[2√n]^p
所以,[√(n+1)-√n]^p×ln[(n+1)/(n-1)]等价于2/n×/[2√n]^p
由比较判别法,原级数的收敛性与级数∑1/[n×√n^p]＝∑1/[n^(1+p/2)]的收敛性相同
所以,当1＋p/2＞1,即p＞0时,原级数收敛,当p≤0时,原级数发散

Answer 3

p-级数常被作为例题的，翻翻书吧，它当 0<p≤1 时是发散的。