Question

设f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x,y∈R，恒有f（x+y）=f（x）f（y）,且当x＞0

设f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x,y∈R，恒有f（x+y）=f（x）f（y）,且当x＞0时，0<f（x）<1.求证对于任意x∈R,恒有f（x）＞0 ,f（x）在R上是减函数。

Answer 1

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，有0<f(x)<1.
1.求证：对于任意x∈R,恒有f（x）＞0 ；
2.证明：f(x)在R上单调递减

证明：1.令x=0，y=0，有f(0)=f^2(0),f(0)[f(0)-1]=0,所以有
f(0)=0或f(0)=1.
当f(0)=0,对于x>0,f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与当x>0时，有0<f(x)<1题意不符，所以f(0)=0舍去，
于是有f（0）=1>0；

对于任意的x>0，有0<f(x)<1.
∴f（x）＞0；

对于任意的x<0,有-x>0,所以0<f(-x)<1,又因为
f(x)*f(-x)=f(-x+x)=f(0)=1,
所以f(x)>1>0.
综上有
对于任意x∈R,恒有f（x）＞0

证明：2.对于任意的x1<x2属于R，令x2=x1+x0,其中x0>0,
f(x2)-f(x1)=f(x1+x0)-f(x1)=f(x1)f(x0)-f(x1)=f(x1)[f(x0)-1]
由于x0>0，所以0<f(x0)<1，有f(x0)-1<0,又f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)<0
所以函数f（x）在R上是减函数

Answer 2

第一问少个条件，f（0）=1，当x<0时，F（x）>1；
F0+0=F0*F0,F0=0或1，带入x=0，y=1，F0不等于0。
F0=Fx*F-x
1=Fx*F-x
0<Fx<1
所以F-x>1
所以在R上Fx>0

Answer 3

fx组合么