Question

如图，AB是圆O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切圆O于点C，连AC。

（1）若AC=PC，求证：AP=根号3AC；
（2）若sin角APC=5/13，求tan角ABC。

Answer 1

【分太少，可怜；也没有管理员给评上难题】

解：

（1）

连接OC

∵OA=OC

∴∠A=∠OCA

∵AC=PC

∴∠A=∠P

∵PC是⊙O的切线

∴∠OCP=90°

∵∠A+∠P+∠OCA=180°-∠OCP=90°

∴∠A=∠P=∠OCA=30°

设OA=OC=1

则OP=2，AC=PC=√（OP²-OC²）=√3

AP=OA+OP=3

∵AP/AC=3/√3=√3

∴AP=√3AC

（2）

∵sin∠APC=OC/OP=5/13

设OC=OA=5，则OP=13，AP=OA+OP=18，CP=√（OP²-OC²）=12

∵∠PCB=∠A（弦切角等于它夹的弧所对的圆周角）

   ∠P=∠P

∴△PCA∽△PBC（AA）

∴AC/BC=AP/CP=18/12=3/2

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∴tan∠ABC=AC/BC=3/2