Question

已知函数y=f(x)是定义在r上的奇函数，且在（0，正无穷）上是增函数，求证：y=2f(x)+1在

已知函数y=f(x)是定义在r上的奇函数，且在（0，正无穷）上是增函数，求证：y=2f(x)+1在（负无穷，0）上也是增函数

Answer 1

解：由于：y=f(x)是定义在R上的奇函数则有：f(-x)=-f(x)令x=0则有：f(0)=-f(0)则：f(0)=0由于f(x)在[0,+无穷）上是增函数由于：奇函数图像关于原点对称，则：f(x)在R上单调递增由于：f(1/2)=1则：f(-1/2)=-f(1/2)=-1又：-1<f(2x+1)<=0则有：f(-1/2)<f(2x+1)<=f(0)由于：f(x)在R上单调递增则有：-1/2<2x+1<=0则有：-3/4<x<=-1/2
希望对你能有所帮助。

Answer 2

设 x1<x2<0，则 -x1>-x2>0，
由于 f(x)在（0,+无穷）上增，从而 f(-x1)>f(-x2)
又 f(x)是奇函数，所以上式可化为
-f(x1)>-f(x2)
即 f(x1)<f(x2)
从而 2f(x1)+1<2f(x2) +1
即 y1<y2
所以 y=2f(x)+1在(负无穷,0）上是增函数。

Answer 3

y=f(x)是定义在r上的奇函数,f(x)=-f(-x)

设x1<x2<0 -x1>-x2>0 f(-x1)>f(-x2) -f(x1)>-f(x2) f(x1)<f(x2)
g(x)=2f(x)+1

g(x2)-g(x1)=2f(x2)-2f(1)=2(f(x2)-f(x1))>0
所以是增函数