Question

设函数f(x)=a^x(其中a>0且a≠1),(1)求f(x)的反函数p(x

设函数f(x)=a^x(其中a>0且a≠1),(1)求f(x)的反函数p(x); (2)设g(x)=loga(x-a),h(x)=p(x-3a)+g(x)，求a范围 设函数f(x)=a^x(其中a>0且a≠1),(1)求f(x)的反函数p(x); (2)设g(x)=loga(x-a),h(x)=p(x-3a)+g(x),当x∈[a+2,+ ∞)时,h(x)≤1恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

(1) f(x)的反函数为p(x)=loga(x)；
(2) 由g(x)=loga(x-a)，h(x)=p(x-3a)+g(x)，
得h(x)=loga(x-3a)+loga(x-a)=loga[(x-3a)(x-a)]
定义域为(3a，+ ∞)，
由条件知，当x∈[a+2，+ ∞)时，h(x)有意义，所以a+2>3a>0，即0<a<1。
由h(x)≤1恒成立，得F(x)=(x-3a)(x-a)≥1恒成立，
因为F(x)=(x-3a)(x-a)的图象开口向上，对称轴为x=2a<a+2，
所以F(x)min=F(a+2)=2(2-2a)≥1，解得a≥3/4。
故所求a的取值范围是[3/4，1)。