Question

两道高数习题，求大神解答~~(⊙o⊙)…

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Answer 1

6，令f(x)=α1/(x-a)+α2/(x-b)+α3/(x-c)，则f'(x)=-[α1/(x-a)^2+α2/(x-b)^2+α3/(x-c)^2]<0，由此可知f(x)在定义域内递减（即分别在区间(-∞,a)，(a.b)，(b.c)，(c.+∞)内单减），而考虑x=a,b,c处f(x)的左右极限，会发现左右极限都分别等于+∞和-∞，以(a,b)区间为例，由于x趋于a+时limf(x)=+∞，x趋于b-时limf(x)=-∞，所以根据连续函数的保号性，可知存在x1和x2属于(a.b)使得f(x1)>0，f(x2)<0，根据零点定理可知存在ζ属于(x1,x2)（包含于(a,b)）使得f(ζ)=0，又f(x)在(a,b)上递减，故(a.b)上只能有这一个根，同理(b,c)上只有一根η。再考虑x<a时f(x)<0，x>c时f(x)>0，故f(x)在(-∞,a)和(c.+∞)不变号，即这两个区间内没有根，这样就证明了f(x)=0有且仅有两个不同的根。
7，不妨设f(x1)≤f(x2)，则(μ1+μ2)f(x1)≤μ1f(x1)+μ2f(x2)≤(μ1+μ2)f(x2)，即f(x1)≤[μ1f(x1)+μ2f(x2)]/(μ1+μ2)≤f(x2)，根据连续函数的介值定理，可知存在ξ使得f(ξ)=[μ1f(x1)+μ2f(x2)]/(μ1+μ2)。