Question

已知函数f(x)=-x²\2+x在区间【m,n】上最小值是3m

已知函数f(x)=-x²\2+x在区间【m,n】上最小值是3m，最大值是3n，求m，n的值
我们老师说有四种情况

Answer 1

如果：f(x)=-(1/2)x²+x，开口向下，对称轴x=1
讨论：
m<n<1
m<1<n
1<m<n

如果：
分子是x²，分母是2+x
f(x)=-x²/(2+x)
f(x) =- (x+2-2)² /(x+2)
f(x) = -[ (x+2)²-4(x+2)+4 ] /(x+2)
f(x)=-(x+2)-4/(x+2) +4 （形如对勾函数，可以利用基本不等式）
因为：x+2≠0
所以：x≠-2
所以：x=-2不在区间[m,n]内
所以：区间[m,n]在x=-2的两侧
分别讨论：
m<n<-2
-2<m<n<0
m<0<n
0<m<n

追问

不是 分母是x² 分子是2，有一个负号

追答

如果：
f(x)=-(1/2)x²+x，开口向下，对称轴x=1
讨论：
m|n-1|，直线x=m到对称轴的距离大于直线x=n到对称轴的距离

|m-1|<|n-1|，直线x=m到对称轴的距离小于直线x=n到对称轴的距离

追问

为什么是 m-1的绝对值和n-1的绝对值

追答

离对称轴远的端点处取最小值

追问

还是不太明白……

追答

绘制简图理解，加强二次函数的基本知识

Answer 2

恩,根据曲线来看,是有四种
一, m,n都在顶点左侧
二, m,n都在顶点右侧
三, m,n在顶点两侧, m+1的绝对值大于n+1的绝对值
四, m,n在顶点两侧, m+1的绝对值小于n+1的绝对值

追问

请问，为什么是m+1的绝对值 和n+1的绝对值？

追答

顶点的X轴坐标值公式为-b/2a, 也就是-1
m-(-1)就是m+1的绝对值.表示的是m点与顶点x轴坐标值的距离
同理可用在n+1
你用抛物线曲线画一下就知道了